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l’expression de $y_{x+i},$ trouvée dans l’article précédent, deviendra donc

(C)

$\left\{{\begin{aligned}\varphi (\varpi +x_{1})&=\ \quad \varphi (\varpi )\left(b_{2}\mathrm {X} ^{(0)}+c_{2}{\frac {d\mathrm {X} ^{(0)}}{dx_{1}}}+e_{2}{\frac {d^{2}\mathrm {X} ^{(0)}}{dx_{1}^{2}}}+\ldots \right)\\&+\ \,\nabla \varphi (\varpi )\left(b_{2}\mathrm {X} ^{(1)}+c_{2}{\frac {d\mathrm {X} ^{(1)}}{dx_{1}}}+e_{2}{\frac {d^{2}\mathrm {X} ^{(1)}}{dx_{1}^{2}}}+\ldots \right)\\&+\nabla ^{2}\varphi (\varpi )\left(b_{2}\mathrm {X} ^{(2)}+c_{2}{\frac {d\mathrm {X} ^{(2)}}{dx_{1}}}+e_{2}{\frac {d^{2}\mathrm {X} ^{(2)}}{dx_{1}^{2}}}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\,\quad {\frac {d\varphi (\varpi )}{d\varpi }}\left(c_{2}\mathrm {X} ^{(0)}+e_{2}{\frac {d\mathrm {X} ^{(0)}}{dx_{1}}}+\ldots \right)\\&+\ \,{\frac {d\nabla \varphi (\varpi )}{d\varpi }}\left(c_{2}\mathrm {X} ^{(1)}+e_{2}{\frac {d\mathrm {X} ^{(1)}}{dx_{1}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {d\nabla ^{2}\varphi (\varpi )}{d\varpi }}\left(c_{2}\mathrm {X} ^{(2)}+e_{2}{\frac {d\mathrm {X} ^{(2)}}{dx_{1}}}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\ \ \ {\frac {d^{2}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{2}}}\left(e_{2}\mathrm {X} ^{(0)}+\ldots \right)\\&+{\frac {d^{2}\nabla \varphi (\varpi )}{d\varpi ^{2}}}\left(e_{2}\mathrm {X} ^{(1)}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+q_{2}{\frac {d^{n-1}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{n-1}}}\mathrm {X} ^{(0)}+q_{2}{\frac {d^{n-1}\nabla \varphi (\varpi )}{d\varpi ^{n-1}}}\mathrm {X} ^{(1)}\\&+q_{2}{\frac {d^{n-1}\nabla ^{2}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{n-1}}}\mathrm {X} ^{(2)}+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Cette formule servira à interpoler les suites, dont la dernière raison des termes est celle d’une équation linéaire aux différences infiniment petites dont les coefficients sont constants.

Si l’on a

$\nabla \varphi (\varpi )=a_{2}\varphi (\varpi )+b_{2}{\frac {d\varphi (\varpi )}{d\varpi }},$

on aura

$f={\frac {a_{2}}{b_{2}}}$

et

$\nabla \varphi (\varpi )=b_{2}e^{-f\varpi }{\frac {d\left[e^{f\varpi }\varphi (\varpi )\right]}{d\varpi }}\,;$