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voir que cette coïncidence subsistera toujours, d’où il suit, par l’article XVIII, que $\mathrm {Y} ^{(1)}=0,$ ce qui donne $\mathrm {M} ^{(1)}=0,\ \mathrm {N} ^{(1)}=0.$ Dans ce cas, la stabilité de l’équilibre dépend du signe de $\lambda _{i}^{2}.$ Pour que cette quantité soit positive, il faut que l’on ait $\rho >{\frac {3}{5}}\,;$ c’est la condition que les géomètres ont exigée pour la stabilité de l’équilibre. J’ai déjà remarqué dans nos Mémoires pour l’année 1776, pages 227 et 228 ^[1], qu’elle est insuffisante ; mais je n’ai pu m’assurer alors que, la condition de $\rho >1$ étant satisfaite, l’équilibre est nécessairement stable.

XXVII.

La valeur de $y$ donne immédiatement celles de $u$ et de $v\,;$ en effet, si dans l’équation

$\mathrm {const} .=\mathrm {V} +\alpha \left(\mathrm {Z} ^{(0)}+\mathrm {Z} ^{(2)}+\mathrm {Z} ^{(3)}+\ldots \right)$

$+\alpha {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\int \left[{\frac {ud\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}-\left(1-\mu ^{2}\right)vd\varpi \right]$

on substitue au lieu de $\mathrm {V}$ sa valeur et que l’on observe que l’on a, par l’article XXV,

$\mathrm {Z} ^{(i)}+{\frac {{\cfrac {3}{\rho }}-2i-1}{2i+1}}p\mathrm {Y} ^{(i)}={\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial t^{2}}}{i(i+1)l}},$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {const} .=p+{\frac {\alpha }{2l}}{\frac {\partial ^{2}Y^{(1)}}{\partial t^{2}}}&+{\frac {\alpha }{6l}}{\frac {\partial ^{2}Y^{(2)}}{\partial t^{2}}}+\ldots +{\frac {\alpha }{i(i+1)l}}{\frac {\partial ^{2}Y^{(i)}}{\partial t^{2}}}+\ldots \\&+\alpha {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\int \left[{\frac {ud\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}-\left(1-\mu ^{2}\right)vd\varpi \right],\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}u=&\mathrm {G+H} t-{\frac {\sqrt {1-\mu ^{2}}}{l}}\left[{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {Y} ^{(1)}}{\partial \mu }}+{\frac {1}{6}}{\frac {\partial \mathrm {Y} ^{(2)}}{\partial \mu }}+\ldots +{\frac {1}{i(i+1)}}{\frac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}+\ldots \right],\\v=&\mathrm {K+L} t+{\frac {1}{l\left(1-\mu ^{2}\right)}}\left[{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {Y} ^{(1)}}{\partial \varpi }}+{\frac {1}{6}}{\frac {\partial \mathrm {Y} ^{(2)}}{\partial \varpi }}+\ldots +{\frac {1}{i(i+1)}}{\frac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi }}+\ldots \right].\end{aligned}}$

Si l’on substitue les valeurs de $y,u$ et $v$ dans l’équation

$y=l{\frac {\partial \left(u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\right)}{\partial \mu }}-l{\frac {\partial v}{\partial \varpi }},$

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 238 et 239.