voir que cette coïncidence subsistera toujours, d’où il suit, par l’article XVIII, que
ce qui donne
Dans ce cas, la stabilité de l’équilibre dépend du signe de
Pour que cette quantité soit positive, il faut que l’on ait
c’est la condition que les géomètres ont exigée pour la stabilité de l’équilibre. J’ai déjà remarqué dans nos Mémoires pour l’année 1776, pages 227 et 228 [1], qu’elle est insuffisante ; mais je n’ai pu m’assurer alors que, la condition de
étant satisfaite, l’équilibre est nécessairement stable.
XXVII.
La valeur de
donne immédiatement celles de
et de
en effet, si dans l’équation
![{\displaystyle \mathrm {const} .=\mathrm {V} +\alpha \left(\mathrm {Z} ^{(0)}+\mathrm {Z} ^{(2)}+\mathrm {Z} ^{(3)}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8797454a5fd7f83c2c195dd61160db9a8fad2f04)
![{\displaystyle +\alpha {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\int \left[{\frac {ud\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}-\left(1-\mu ^{2}\right)vd\varpi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec8a8d9c13f4987dabb00f8486592d74ab0fac6)
on substitue au lieu de
sa valeur et que l’on observe que l’on a, par l’article XXV,
![{\displaystyle \mathrm {Z} ^{(i)}+{\frac {{\cfrac {3}{\rho }}-2i-1}{2i+1}}p\mathrm {Y} ^{(i)}={\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial t^{2}}}{i(i+1)l}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3abc179caea5d70742e541d298c88edc40c3f3d2)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {const} .=p+{\frac {\alpha }{2l}}{\frac {\partial ^{2}Y^{(1)}}{\partial t^{2}}}&+{\frac {\alpha }{6l}}{\frac {\partial ^{2}Y^{(2)}}{\partial t^{2}}}+\ldots +{\frac {\alpha }{i(i+1)l}}{\frac {\partial ^{2}Y^{(i)}}{\partial t^{2}}}+\ldots \\&+\alpha {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\int \left[{\frac {ud\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}-\left(1-\mu ^{2}\right)vd\varpi \right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c60732260682653f32b5d738bd236d5894f30c)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}u=&\mathrm {G+H} t-{\frac {\sqrt {1-\mu ^{2}}}{l}}\left[{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {Y} ^{(1)}}{\partial \mu }}+{\frac {1}{6}}{\frac {\partial \mathrm {Y} ^{(2)}}{\partial \mu }}+\ldots +{\frac {1}{i(i+1)}}{\frac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}+\ldots \right],\\v=&\mathrm {K+L} t+{\frac {1}{l\left(1-\mu ^{2}\right)}}\left[{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {Y} ^{(1)}}{\partial \varpi }}+{\frac {1}{6}}{\frac {\partial \mathrm {Y} ^{(2)}}{\partial \varpi }}+\ldots +{\frac {1}{i(i+1)}}{\frac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi }}+\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24c872d9967271ce9df03ac211fd1cee609ab51)
Si l’on substitue les valeurs de
et
dans l’équation
![{\displaystyle y=l{\frac {\partial \left(u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\right)}{\partial \mu }}-l{\frac {\partial v}{\partial \varpi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001601d8fe80b5ccd745d21d47b572806d3bc47e)
- ↑ Œuvres de Laplace, T. IX, p. 238 et 239.