et
étant des fonctions rationnelles et entières de ![{\displaystyle \mu ,{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bdf4c344a295e8c5b325a73b2f6d9d62c23189a)
qui satisfont aux équations à différences partielles
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {M} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {M} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {M} ^{(i)},\\0=&{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {N} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {N} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {N} ^{(i)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d72d6f0b22e77f5bc8f14a1f5f4d76f7c8b4ed)
L’équation différentielle en
donne, en supposant ![{\displaystyle i=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c24d599b33de4718a5c35f1103b189c49943d43)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(0)}}{\partial t^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d42c0b48b333c1ac2ba6c94f3570e23167e3da3d)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \mathrm {Y} ^{(0)}=l\mathrm {M} ^{(0)}t+l\mathrm {N} ^{(0)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7953ea0f95706a5094c65e815fde35600ed31e0e)
on aura donc, à cause de ![{\displaystyle y=\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d090718bbb9f7166aeb93b1a29fd021f37740aab)
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=l\mathrm {M} ^{(0)}t+l\mathrm {N} ^{(0)}&+l\mathrm {M} ^{(1)}\sin \lambda _{1}t+l\mathrm {N} ^{(1)}\cos \lambda _{1}t\\&+l\mathrm {M} ^{(2)}\sin \lambda _{2}t+l\mathrm {N} ^{(2)}\cos \lambda _{2}t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {6l}{\lambda _{2}}}\sin \lambda _{2}t\int \mathrm {Z} ^{(2)}dt\cos \lambda _{2}t\\&-{\frac {6l}{\lambda _{2}}}\cos \lambda _{2}t\int \mathrm {Z} ^{(2)}dt\sin \lambda _{2}t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {i(i+1)l}{\lambda _{i}}}\sin \lambda _{i}t\int \mathrm {Z} ^{(i)}dt\cos \lambda _{i}t\\&-{\frac {i(i+1)l}{\lambda _{i}}}\cos \lambda _{i}t\int \mathrm {Z} ^{(i)}dt\sin \lambda _{i}t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d44cf071afb62c31b0629e56a92c2f5f9d10f8d)
On déterminera les fonctions
au moyen de la figure initiale du fluide, et les fonctions
au moyen de la vitesse initiale ; ainsi l’expression précédente de
embrassant toutes les figures et toutes les vitesses primitives dont le fluide est susceptible, elle a toute la généralité que l’on peut désirer.