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$\mathrm {M} ^{(i)}$ et $\mathrm {N} ^{(i)}$ étant des fonctions rationnelles et entières de $\mu ,{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,$ qui satisfont aux équations à différences partielles

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {M} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {M} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {M} ^{(i)},\\0=&{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {N} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {N} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {N} ^{(i)}.\end{aligned}}$

L’équation différentielle en $\mathrm {Y} ^{(i)}$ donne, en supposant $i=0,$

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(0)}}{\partial t^{2}}}=0$

et, par conséquent,

$\mathrm {Y} ^{(0)}=l\mathrm {M} ^{(0)}t+l\mathrm {N} ^{(0)}\,;$

on aura donc, à cause de $y=\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}} +\ldots ,$

${\begin{aligned}y=l\mathrm {M} ^{(0)}t+l\mathrm {N} ^{(0)}&+l\mathrm {M} ^{(1)}\sin \lambda _{1}t+l\mathrm {N} ^{(1)}\cos \lambda _{1}t\\&+l\mathrm {M} ^{(2)}\sin \lambda _{2}t+l\mathrm {N} ^{(2)}\cos \lambda _{2}t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {6l}{\lambda _{2}}}\sin \lambda _{2}t\int \mathrm {Z} ^{(2)}dt\cos \lambda _{2}t\\&-{\frac {6l}{\lambda _{2}}}\cos \lambda _{2}t\int \mathrm {Z} ^{(2)}dt\sin \lambda _{2}t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {i(i+1)l}{\lambda _{i}}}\sin \lambda _{i}t\int \mathrm {Z} ^{(i)}dt\cos \lambda _{i}t\\&-{\frac {i(i+1)l}{\lambda _{i}}}\cos \lambda _{i}t\int \mathrm {Z} ^{(i)}dt\sin \lambda _{i}t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

On déterminera les fonctions $\mathrm {N^{(0)},N^{(1)},N^{(2)}} ,\ldots$ au moyen de la figure initiale du fluide, et les fonctions $\mathrm {M^{(0)},M^{(1)},M^{(2)}}$ au moyen de la vitesse initiale ; ainsi l’expression précédente de $y,$ embrassant toutes les figures et toutes les vitesses primitives dont le fluide est susceptible, elle a toute la généralité que l’on peut désirer.