en réunissant donc ces deux parties et en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle p={\frac {4}{3}}\pi (\rho -1)(1-l)^{3}+{\frac {4}{3}}\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61fa3131540d55ffa693e2370a53a349a2c7342e)
d’où l’on tire, en négligeant les quantités de l’ordre ![{\displaystyle \alpha l,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208542d382687cbb8681644bf8bce51d77a7d8f9)
![{\displaystyle 4\alpha \pi ={\frac {3\alpha p}{\rho }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4aade61bc4c27fc2bebf8eb2aaaa82513f7f0a)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {V} =p-\alpha py+{\frac {3\alpha p}{\rho }}\left(\mathrm {Y^{(0)}+{\frac {1}{3}}Y^{(1)}+{\frac {1}{5}}Y^{(2)}} +\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2056267513d8fb18b2742b18b0462656f8ed52a3)
où l’on doit observer que
est la pesanteur à la surface du sphéroïde en équilibre.
Si l’on substitue cette valeur dans l’équation précédente aux différences partielles, en observant que
![{\displaystyle y=\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}} +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae81f9b6d080a21cb0a897e11082f8d93330edd0)
et que l’on a
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae794a9cc56cb5631ccb7872c6740c5f5ed6447)
on trouvera généralement, en comparant les fonctions semblables
et ![{\displaystyle \mathrm {Z} ^{(i)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f159912c5e40c2ed6d6b9cdddf5d70c73470fbf8)
![{\displaystyle 0={\frac {i(i+1)\left(2i+1-{\cfrac {3}{\rho }}\right)}{2i+1}}lp\mathrm {Y} ^{(i)}-i(i+1)l\mathrm {Z} ^{(i)}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28617e386bb498ab53f94818adc23135cfdb8dde)
et cette équation aura lieu, quel que soit
pourvu que l’on suppose
parce que cette fonction manque dans l’équation différentielle.
Pour intégrer cette équation, soit
![{\displaystyle {\frac {i(i+1)\left(2i+1-{\cfrac {3}{\rho }}\right)}{2i+1}}lp=\lambda _{i}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf0437a0fbdbfd387b44a7daad2a6212d5dd242)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Y} ^{(i)}=l\mathrm {M} ^{(i)}\sin \lambda _{i}t+l\mathrm {N} ^{(i)}\cos \lambda _{i}t&+{\frac {i(i+1)}{\lambda _{i}}}l\sin \lambda _{i}t\int \mathrm {Z} ^{(i)}dt\cos \lambda _{i}t\\&-{\frac {i(i+1)}{\lambda _{i}}}l\cos \lambda _{i}t\int \mathrm {Z} ^{(i)}dt\sin \lambda _{i}t,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5859d4462c17e4634a2fb4f2c6f672c4ba0411)