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en réunissant donc ces deux parties et en faisant, pour abréger,

$p={\frac {4}{3}}\pi (\rho -1)(1-l)^{3}+{\frac {4}{3}}\pi ,$

d’où l’on tire, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha l,$

$4\alpha \pi ={\frac {3\alpha p}{\rho }},$

on aura

$\mathrm {V} =p-\alpha py+{\frac {3\alpha p}{\rho }}\left(\mathrm {Y^{(0)}+{\frac {1}{3}}Y^{(1)}+{\frac {1}{5}}Y^{(2)}} +\ldots \right),$

où l’on doit observer que $p$ est la pesanteur à la surface du sphéroïde en équilibre.

Si l’on substitue cette valeur dans l’équation précédente aux différences partielles, en observant que

$y=\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}} +\ldots$

et que l’on a

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)},$

on trouvera généralement, en comparant les fonctions semblables $\mathrm {Y} ^{(i)}$ et $\mathrm {Z} ^{(i)}$

$0={\frac {i(i+1)\left(2i+1-{\cfrac {3}{\rho }}\right)}{2i+1}}lp\mathrm {Y} ^{(i)}-i(i+1)l\mathrm {Z} ^{(i)}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial t^{2}}},$

et cette équation aura lieu, quel que soit $i,$ pourvu que l’on suppose $\mathrm {Z} ^{(1)}=0,$ parce que cette fonction manque dans l’équation différentielle.

Pour intégrer cette équation, soit

${\frac {i(i+1)\left(2i+1-{\cfrac {3}{\rho }}\right)}{2i+1}}lp=\lambda _{i}^{2},$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {Y} ^{(i)}=l\mathrm {M} ^{(i)}\sin \lambda _{i}t+l\mathrm {N} ^{(i)}\cos \lambda _{i}t&+{\frac {i(i+1)}{\lambda _{i}}}l\sin \lambda _{i}t\int \mathrm {Z} ^{(i)}dt\cos \lambda _{i}t\\&-{\frac {i(i+1)}{\lambda _{i}}}l\cos \lambda _{i}t\int \mathrm {Z} ^{(i)}dt\sin \lambda _{i}t,\end{aligned}}$