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d’où il est aisé de conclure, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2}$ et celles de l’ordre $y$ relativement à $u$ et à $v,$

$-\int \left(dx'{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+dy'{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+dz'{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}\right)$

$=\alpha {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\int \left[{\frac {ud\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}-\left(1-\mu ^{2}\right)vd\varpi \right]\,;$

l’équation précédente du mouvement du fluide deviendra ainsi

$\mathrm {const} .=\mathrm {V+\alpha \left(Z^{(0)}+Z^{(2)}+Z^{(3)}+Z^{(4)}+\ldots \right)}$

$+\alpha {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\int \left[{\frac {ud\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}-\left(1-\mu ^{2}\right)vd\varpi \right],$

et il est clair que la quantité sous le signe $\int$ doit être une différence exacte.

Cette équation paraît supposer que le centre du noyau sphérique, où nous fixons l’origine des coordonnées, est le centre même de gravité du sphéroïde, puisque c’est relativement à ce centre que nous avons déterminé dans l’article XVII les forces qui sollicitent les molécules fluides ; or l’état du fluide peut être tel que ces deux centres ne coïncident point, et alors il faut ajouter aux mouvements précédents de la molécule fluide relativement au noyau supposé immobile le mouvement du centre même de ce noyau ; mais, si l’on considère que ce centre ne peut faire autour du centre de gravité de la masse entière que des oscillations de l’ordre $\alpha y,$ on verra facilement que les forces qui en résultent dans la molécule fluide sont de l’ordre $\alpha {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},$ et qu’ainsi nous pouvons les négliger vis-à-vis de ${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}},$ d’où il suit que l’équation précédente est vraie, quel que soit l’ébranlement du fluide.

Maintenant, si l’on différentie convenablement cette équation et si l’on observe que l’on a

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Z} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Z} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Z} ^{(i)}$

et

${\frac {y}{l}}={\frac {\partial \left(u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\right)}{\partial \mu }}-{\frac {\partial v}{\partial \varpi }},$