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en l’égalant à la précédente $ld\theta d\varpi \sin \theta$ et en faisant $\cos \theta =\mu ,$ on aura

$y=l{\frac {\partial \left(u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\right)}{\partial \mu }}-l{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}.$

Cette équation est relative à la continuité du fluide, et il en résulte que $u$ et $v$ sont très grands relativement à $y$ dans la raison de $1$ à $l,$ en sorte que nous pourrons négliger $y$ par rapport à ces quantités.

Pour avoir les équations relatives au mouvement du fluide, nous reprendrons l’équation

$\mathrm {const} .=\int \left(\mathrm {F} df+\mathrm {F} 'df'+\ldots \right),$

qui, par l’article XVII, détermine les conditions de l’équilibre d’une masse fluide à sa surface extérieure, et nous observerons que, si l’on nomme $x',y',z'$ les trois coordonnées rectangles d’une molécule de cette surface, les trois vitesses partielles de cette molécule seront

${\frac {dx'}{dt}},\quad {\frac {dy'}{dt}},\quad {\frac {dz'}{dt}}$

ou

${\begin{aligned}&{\frac {dx'}{dt}}+{\frac {d^{2}x'}{dt}}-{\frac {d^{2}x'}{dt}},\\&{\frac {dy'}{dt}}+{\frac {d^{2}y'}{dt}}-{\frac {d^{2}y'}{dt}},\\&{\frac {dz'}{dt}}+{\frac {d^{2}z'}{dt}}-{\frac {d^{2}z'}{dt}}.\end{aligned}}$

Dans l’instant suivant, $dt$ étant supposé constant, les vitesses de la molécule seront

${\begin{aligned}&{\frac {dx'}{dt}}+{\frac {d^{2}x'}{dt}},\\&{\frac {dy'}{dt}}+{\frac {d^{2}y'}{dt}},\\&{\frac {dz'}{dt}}+{\frac {d^{2}z'}{dt}}\,;\end{aligned}}$

il faut donc ajouter aux forces qui animent la molécule, et en vertu desquelles elle serait en équilibre, les forces nécessaires pour produire