VIII.
Supposons, dans la formule précédente,
et
infiniment grands, de manière que l’on ait
![{\displaystyle i={\frac {x_{1}}{dx_{1}}}\qquad {\text{et}}\qquad x={\frac {\varpi }{dx_{1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65a969cd3927859a6f5469e8f1a2fcebcf96a53d)
deviendra une fonction de
que nous désignerons par
Supposons de plus
![{\displaystyle a_{1}=a_{2},\quad b_{1}={\frac {b_{2}}{dx_{1}}},\quad c_{1}={\frac {c_{2}}{dx_{1}^{2}}},\quad \ldots ,\quad q={\frac {q_{2}}{dx_{1}^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a37460a695904bf351826318b7d27e1e18ec29f)
l’équation
![{\displaystyle 0=a_{1}+b_{1}\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)+c_{1}\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)^{2}+\ldots +q\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf57b41145d410cae3e56deb0aa95efe1ef0c60)
donnera, pour
racines de cette forme
![{\displaystyle \theta =1+fdx_{1},\qquad \theta =1+f_{1}dx_{1},\qquad \theta =1+f_{2}dx_{1},\qquad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a5383281dfe8d6aa4ba17ebbb74bfd2c3c23f2)
ce seront les quantités que nous avons nommées
dans l’expression de
de l’article V, et les valeurs de
seront données par les
racines de l’équation
![{\displaystyle 0=a_{2}-b_{2}f+c_{2}f^{2}+\ldots \pm q_{2}f^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41c1bbf73eed6c74076f0d5281ba3b679e59d59)
Maintenant, si l’on fait
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{\theta ^{i}}}={\frac {1}{\left(1+hdx_{1}\right)^{i}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f2cecc3ffa69da08c1bdbe4903c7009119be7c)
le logarithme hyperbolique de cette dernière quantité est
![{\displaystyle -i\log \left(1+hdx_{1}\right)z=-ihdx_{1}=-hdx_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8375c4ad05f08ac23691405ec7bd0c9ce214bbf)
d’où l’on tire
étant ici le nombre dont le logarithme hyper-