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VIII.

Supposons, dans la formule précédente, $x$ et $i$ infiniment grands, de manière que l’on ait

$i={\frac {x_{1}}{dx_{1}}}\qquad {\text{et}}\qquad x={\frac {\varpi }{dx_{1}}}\,;$

$y_{x+i}$ deviendra une fonction de $\varpi +x_{1},$ que nous désignerons par $\varphi (\varpi +x_{1}).$ Supposons de plus

$a_{1}=a_{2},\quad b_{1}={\frac {b_{2}}{dx_{1}}},\quad c_{1}={\frac {c_{2}}{dx_{1}^{2}}},\quad \ldots ,\quad q={\frac {q_{2}}{dx_{1}^{n}}},$

l’équation

$0=a_{1}+b_{1}\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)+c_{1}\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)^{2}+\ldots +q\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)^{n}$

donnera, pour $\theta ,\ n$ racines de cette forme

$\theta =1+fdx_{1},\qquad \theta =1+f_{1}dx_{1},\qquad \theta =1+f_{2}dx_{1},\qquad \ldots \,;$

ce seront les quantités que nous avons nommées $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots$ dans l’expression de $\mathrm {Z} _{r}^{(s-1)}$ de l’article V, et les valeurs de $f,f_{1},f_{2},\ldots$ seront données par les $n$ racines de l’équation

$0=a_{2}-b_{2}f+c_{2}f^{2}+\ldots \pm q_{2}f^{n}.$

Maintenant, si l’on fait $\theta =1+hdx_{1},$ on aura

${\frac {1}{\theta ^{i}}}={\frac {1}{\left(1+hdx_{1}\right)^{i}}}\,;$

le logarithme hyperbolique de cette dernière quantité est

$-i\log \left(1+hdx_{1}\right)z=-ihdx_{1}=-hdx_{1},$

d’où l’on tire ${\frac {1}{\theta ^{i}}}=e^{-hx_{1}},\ e$ étant ici le nombre dont le logarithme hyper-