et, quel que soit
![{\displaystyle 0={\frac {4\pi }{3}}\mathrm {Y} ^{(i)}\int \rho da^{3}-{\frac {4\pi }{2i+1}}\int \rho d\left(a^{i+3}\mathrm {Y} ^{(i)}\right)-\mathrm {Z} ^{(i)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b333dca0053154a96c66670370065f723e84529)
pourvu que l’on suppose
parce que cette fonction manque dans l’équation (16). Les intégrales doivent être prises depuis
jusqu’à ![{\displaystyle a=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87aaf9fe1b82ddb0ba04b257c04f6d0eb4697a5)
La pesanteur
sera donnée par cette formule
![{\displaystyle {\begin{aligned}p={\frac {4}{3}}\pi \int \rho da^{3}&-{\frac {8\alpha \pi }{3}}\left(\mathrm {Y} ^{(0)}+\mathrm {Y} ^{(1)}+\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right)\int \rho da^{3}\\&+4\alpha \pi \int \rho d\left(a^{3}\mathrm {Y} ^{(0)}+{\frac {2a^{4}}{3}}\mathrm {Y} ^{(1)}+{\frac {3a^{5}}{5}}\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right)\\&-\alpha \left(2\mathrm {Z} ^{(0)}+2\mathrm {Z} ^{(2)}+3\mathrm {Z} ^{(3)}+4\mathrm {Z} ^{(4)}+\ldots \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9038341c9610305bdac0e14b225596e7a09c700a)
Si l’on élimine les termes
![{\displaystyle \int \rho d\left(a^{3}\mathrm {Y} ^{(0)}\right),\quad \int \rho d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}\right),\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17fe8fa1aaab9f6fe2248af651a56fa76b54f2cf)
au moyen de l’équation précédente en
et que, pour abréger, l’on suppose
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {4\pi }{3}}\left(1-\alpha \mathrm {Y} ^{(0)}\right)\int \rho da^{3}-3\alpha \mathrm {Z} ^{(0)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802af29805298c338e2f40ee1f990fe4eaeb257e)
on aura
(17)
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Cette expression est remarquable, en ce qu’elle donne la loi de la pesanteur à la surface du sphéroïde, indépendamment de la figure et de la densité de ses couches intérieures ; en sorte que, si, par les mesures des degrés des méridiens et des parallèles, on a le rayon
du sphéroïde, et si, de plus, on connaît les quantités
relatives à la force centrifuge du mouvement de rotation et aux attractions étrangères, on aura la variation
de la pesanteur à la surface du sphéroïde, et, réciproquement, si cette variation est donnée par les expériences sur la longueur du pendule, on aura le rayon
du sphéroïde ; car, quoique la