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étant prises depuis $a=a$ jusqu’à $a=\mathrm {a} ,$ et les deux dernières étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=a,\ r$ devant être changé en $a(1+\alpha y)$ après toutes les différentiations et les intégrations. On aura ainsi à la surface extérieure

(16)

$\left\{{\begin{aligned}&\int {\frac {d\mathrm {H} }{\rho }}={\frac {4\pi }{3r}}\int \rho da^{3}\\&+{\frac {4\alpha \pi }{r}}\int \rho d\left(a^{3}\mathrm {Y} ^{(0)}+{\frac {a^{4}}{3r}}\mathrm {Y} ^{(1)}+{\frac {a^{5}}{5r^{2}}}\mathrm {Y} ^{(2)}+{\frac {a^{6}}{7r^{3}}}\mathrm {Y} ^{(3)}+\ldots \right)\\&+\alpha r^{2}\left(\mathrm {Z} ^{(0)}+\mathrm {Z} ^{(2)}+r\mathrm {Z} ^{(3)}+\ldots \right),\end{aligned}}\right.$

les intégrales étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=\mathrm {a} .$ Cette équation a l’avantage de donner, par la différentiation de son second membre, la pesanteur à la surface du sphéroïde ; car, en nommant $p$ cette force, on aura $p$ égal à la différentielle de ce second membre, prise par rapport à $r$ et divisée par $-dr.$

Si le sphéroïde est entièrement fluide ou formé d’un noyau solide recouvert d’un fluide, l’équation (15) donnera les valeurs de $\mathrm {Y^{(0)},Y^{(1)},Y^{(2)}} ,\ldots$ relatives à chacune des couches du niveau du fluide, et, si le fluide est homogène, il suffira de satisfaire à l’équation (16).

Il est aisé de voir par la nature de ces équations, qui sont linéaires, que, si l’on y a satisfait d’une manière quelconque, on aura leur solution complète en ajoutant aux valeurs particulières de $\mathrm {Y^{(0)},Y^{(1)}} ,\ldots ,$ que l’on suppose connues, celles qui ont lieu dans le cas où $\mathrm {Z^{(0)},Z^{(1)}} ,\ldots$ sont nuls ; en sorte que la recherche de la figure d’équilibre des couches du fluide se réduit : 1^o à déterminer une figure particulière d’équilibre lorsque le fluide est sollicité par les forces étrangères qui l’animent ; 2^o à déterminer toutes les figures d’équilibre qui ont lieu lorsque ces forces sont nulles, car il est clair que la somme des valeurs de $y$ relatives à ces deux cas sera la valeur complète de $y.$

La figure du sphéroïde donnée par l’équation (16) dépend de la figure et de la densité de ses couches intérieures, et, si l’on compare les termes semblables en faisant, pour plus de simplicité, $a=1,$ on aura à la surface extérieure

$\int {\frac {d\mathrm {H} }{\rho }}={\frac {4\pi }{3}}\int \rho da^{3}$