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on aura

${\begin{aligned}0=&\left[(1-\rho ){\frac {c^{3}}{a^{3}}}+2\right]\mathrm {Y} ^{(0)}+(1-\rho ){\frac {c^{3}}{a^{3}}}\mathrm {Y} ^{(1)}\\&+\left[(1-\rho ){\frac {c^{3}}{a^{3}}}-{\frac {2}{5}}\right]\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots +\left[(1-\rho ){\frac {c^{3}}{a^{3}}}-{\frac {2i-2}{2i+1}}\right]\mathrm {Y} ^{(i)}+\ldots ,\end{aligned}}$

la constante $a$ étant supposée telle que $const.={\frac {4}{3}}\pi a^{2}.$ Cette équation donne $\mathrm {Y^{(0)}=0,\ Y^{(1)}=0,\ Y^{(2)}} =0,\ldots ,$ à moins que le coefficient de l’une de ces quantités, de $\mathrm {Y} ^{(i)}$ par exemple, ne soit nul, ce qui donne

$(1-\rho ){\frac {c^{3}}{a^{3}}}={\frac {2i-2}{2i+1}},$

$i$ étant un nombre entier positif ; et, dans ce cas, toutes ces quantités sont nulles, excepté $\mathrm {Y} ^{(i)}\,;$ on aura donc alors

$y=\mathrm {Y} ^{(i)},$

ce qui est conforme à ce que nous venons de trouver.

On voit ainsi que les résultats obtenus par la réduction de $\mathrm {V}$ en série ont toute la généralité possible, et qu’il n’est point à craindre qu’aucune figure d’équilibre échappe à l’analyse fondée sur cette réduction.

XXII.

Examinons maintenant le cas où le sphéroïde est hétérogène, et pour cela reprenons l’équation (11) de l’article XVII :

$\int {\frac {d\mathrm {H} }{\rho }}=\mathrm {V} +\alpha r^{2}\left(\mathrm {Z} ^{(0)}+\mathrm {Z} ^{(2)}+r\mathrm {Z} ^{(3)}+\ldots \right)\,;$

si l’on y substitue pour $\mathrm {V}$ sa valeur donnée par la formule (10) de l’article XVI, on aura

(15)

$\left\{{\begin{aligned}&\int {\frac {d\mathrm {H} }{\rho }}=2\pi \int \rho da^{2}\\&+4\alpha \pi \int \rho d\left(a^{2}\mathrm {Y} ^{(0)}+{\frac {ar}{3}}\mathrm {Y} ^{(1)}+{\frac {r^{2}}{5}}\mathrm {Y} ^{(2)}+{\frac {r^{3}}{7a}}\mathrm {Y} ^{(3)}+\ldots \right)\\&+{\frac {4\pi }{3r}}\int \rho da^{3}+{\frac {4\alpha \pi }{r}}\int \rho d\left(a^{3}\mathrm {Y} ^{(0)}+{\frac {a^{4}}{3r}}\mathrm {Y} ^{(1)}+{\frac {a^{5}}{5r^{2}}}\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right)\\&+\alpha r^{2}\left(\mathrm {Z} ^{(0)}+\mathrm {Z} ^{(2)}+r\mathrm {Z} ^{(3)}+\ldots \right),\end{aligned}}\right.$

les deux premières intégrales du second membre de cette équation