on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\left[(1-\rho ){\frac {c^{3}}{a^{3}}}+2\right]\mathrm {Y} ^{(0)}+(1-\rho ){\frac {c^{3}}{a^{3}}}\mathrm {Y} ^{(1)}\\&+\left[(1-\rho ){\frac {c^{3}}{a^{3}}}-{\frac {2}{5}}\right]\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots +\left[(1-\rho ){\frac {c^{3}}{a^{3}}}-{\frac {2i-2}{2i+1}}\right]\mathrm {Y} ^{(i)}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a463459fa0b587884072861b446f12df259246f)
la constante
étant supposée telle que
Cette équation donne
à moins que le coefficient de l’une de ces quantités, de
par exemple, ne soit nul, ce qui donne
![{\displaystyle (1-\rho ){\frac {c^{3}}{a^{3}}}={\frac {2i-2}{2i+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad37aaeae5796ca283c94c6843b2ed92e8bf736)
étant un nombre entier positif ; et, dans ce cas, toutes ces quantités sont nulles, excepté
on aura donc alors
![{\displaystyle y=\mathrm {Y} ^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3575b6dbe8429ce5f88cf1487752740954c3d34)
ce qui est conforme à ce que nous venons de trouver.
On voit ainsi que les résultats obtenus par la réduction de
en série ont toute la généralité possible, et qu’il n’est point à craindre qu’aucune figure d’équilibre échappe à l’analyse fondée sur cette réduction.
XXII.
Examinons maintenant le cas où le sphéroïde est hétérogène, et pour cela reprenons l’équation (11) de l’article XVII :
![{\displaystyle \int {\frac {d\mathrm {H} }{\rho }}=\mathrm {V} +\alpha r^{2}\left(\mathrm {Z} ^{(0)}+\mathrm {Z} ^{(2)}+r\mathrm {Z} ^{(3)}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eabbb1860d1d9e8ec8fd4c5b4b3fcdf9df045df)
si l’on y substitue pour
sa valeur donnée par la formule (10) de l’article XVI, on aura
(15)
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les deux premières intégrales du second membre de cette équation