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Il est facile d’en conclure que, si l’on représente par $\alpha \mathrm {Y} ^{(i)}$ la fonction

${\begin{aligned}&\alpha \ \psi \left[\cos \gamma \ \cos \theta +\sin \gamma \ \sin \theta \cos(\varpi +{\text{ϐ}}\ )\right]\\+&\alpha '\psi \left[\cos \gamma '\cos \theta +\sin \gamma '\sin \theta \cos(\varpi +{\text{ϐ}}')\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

$\mathrm {Y} ^{(i)}$ sera une fonction rationnelle et entière de

$\mu ,\quad {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\quad {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,$

qui satisfera à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)}.$

En choisissant donc pour $\mathrm {Y} ^{(i)}$ la fonction la plus générale de cette nature, la fonction $a\left(1+\alpha \mathrm {Y} ^{(i)}\right)$ sera l’expression la plus générale du rayon du sphéroïde immobile en équilibre.

On peut parvenir au même résultat au moyen de l’expression de $\mathrm {V}$ en séries de l’article XIII, car l’équation de l’équilibre étant, par l’article précédent,

$\mathrm {const.=V} +a^{2}\mathrm {N} ,$

si l’on suppose que toutes les forces étrangères à l’action des molécules fluides se réduisent à une seule force attractive égale à ${\frac {4}{3}}\pi {\frac {(\rho -1)c^{3}}{r^{2}}},$ placée au centre du sphéroïde, en multipliant cette force par l’élément $-dr$ la direction et en l’intégrant ensuite, on aura

${\frac {4}{3}}\pi {\frac {(\rho -1)c^{3}}{r}}=a^{2}\mathrm {N} \,;$

comme à la surface $r=a(1+\alpha y),$ l’équation précédente de l’équilibre deviendra

$\mathrm {const} .=\mathrm {V} +{\frac {4}{3}}\alpha \pi {\frac {c^{3}}{a}}(1-\rho )y.$

En substituant dans cette équation au lieu de $\mathrm {V}$ sa valeur donnée par la formule (7) de l’article XIII, dans laquelle on mettra pour $r$ sa valeur à la surface $a(1+\alpha y),$ et en substituant pour $y$sa valeur

$\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}} +\ldots ,$