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vera d’abord

$1+(\rho -1){\frac {c^{3}}{a^{3}}}={\frac {3}{2i+1}},$

où

$i={\frac {2a^{3}+(1-\rho )c^{3}}{2a^{3}-2(1-\rho )c^{3}}},$

ce qui suppose $\rho$ égal ou moindre que l’unité ; ainsi, toutes les fois que $a,c$ et $\rho$ ne seront pas tels que le second membre de cette équation soit un nombre entier positif, le fluide ne pourra être en équilibre que d’une seule manière. On aura ensuite

$\mathrm {A} =0,\qquad \mathrm {B} =-{\frac {i(i-1)}{2(2i-1)}},\qquad \ldots ,$

en sorte que

$v=\mu ^{i}-{\frac {i(i-1)}{2(2i-1)}}\mu ^{i-2}+{\frac {i(i-1)(i-2)(i-3)}{2.4(2i-1)(2i-3)}}\mu ^{i-4}-\ldots .$

Il y a donc généralement deux figures d’équilibre, puisque olç est susceptible de deux valeurs, dont l’une est donnée par la supposition de $\alpha =0$ et dont l’autre est donnée par la supposition de $v$ égal à la fonction précédente de $\mu .$

Si le sphéroïde est immobile et n’est sollicité par aucune force étrangère à l’action de ses molécules, la première de ces deux figures est une sphère et la seconde a pour méridien une courbe de l’ordre $i.$ On doit cependant observer que ces deux figures coïncident lorsque $i=1,$ parce que le rayon $a(1+\alpha \mu )$ est celui d’une sphère dans laquelle l’origine des rayons est à la distance $\alpha$ de son centre ; mais alors il est aisé de voir que $\rho =1,$ c’est-à-dire que le sphéroïde est homogène, ce qui est conforme au résultat de l’article précédent.

Lorsqu’on a les figures de révolution qui satisfont à l’équilibre, il est facile d’en conclure celles qui ne sont pas de révolution par la méthode suivante.

Au lieu de fixer l’origine de l’angle $\theta$ à l’extrémité de l’axe de révolution, supposons qu’elle soit à une distance $\gamma$ de cette extrémité, et nommons $\theta '$ la distance à cette même extrémité d’un point de la sur-