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développement de cette fonction multipliée par $\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)^{\mu }$ sera, par l’article II, $\Delta ^{\mu }q_{i}\,;$ on aura

${\frac {1}{t^{i}}}=\ \,\qquad b'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+\qquad b'z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ \quad b'z^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots$

$(\mu ')\qquad \left\{{\begin{aligned}&+\ \ \ c'\Delta \ \,\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+\,\ \ c'z\Delta \ \ \mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+c'z^{2}\Delta \ \ \mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \\&+\ \ \ e'\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+\,\ \ e'z\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+e'z^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+q\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+qz\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+q\ z^{2}\Delta \ \ \mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \\\\&+{\frac {1}{t'}}\ \left\{{\begin{aligned}&\,\qquad c'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+\ \ \ c'z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \\&+e'\Delta \mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+e'z\Delta \mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}\\\\&+{\frac {1}{t'^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&\qquad e'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+\ \ \,e'z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\,+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

$+{\frac {q}{t'^{n-1}}}\left(\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\qquad \ \ \ +\ \quad z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\ \,+\ldots \right).$

Présentement, il est visible, par l’article II, que le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de la fonction ${\frac {uz^{s}}{t'^{\mu }}}$ est $\Delta ^{\mu }\nabla ^{s}y_{x}\,;$ l’équation précédente donnera donc, en la multipliant par $u$ et en repassant des fonctions génératrices aux variables correspondantes.

${\begin{aligned}&y_{x+i}=\\&\qquad \quad \,y_{x}\left(b'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\,\ +c'\Delta \mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\ \,+e'\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\ \,+\ldots +q\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\ \right)\\&+\ \ \ \nabla \,\ y_{x}\left(b'\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+c'\Delta \mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+e'\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots +q\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\right)\\&+\ \ \ \nabla ^{2}y_{x}\left(b'\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+c'\Delta \mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+e'\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots +q\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\,\qquad y_{x}\left(c'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\ +e'\Delta \mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\ +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +q\Delta ^{n-2}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\ \right)\\&+\ \,\Delta \nabla y_{x}\left(c'\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+e'\Delta \mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +q\Delta ^{n-2}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\right)\\&+\Delta \nabla ^{2}y_{x}\left(c'\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+e'\Delta \mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +q\Delta ^{n-2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\quad \Delta ^{2}y_{x}\left(e'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\ +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ \ +q\Delta ^{n-3}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\ \right)\\&+\Delta ^{2}\nabla y_{x}\left(e'\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ \ +q\Delta ^{n-3}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+q\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\Delta ^{n-1}y_{x}+q\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\Delta ^{n-1}\nabla y_{x}+q\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}\Delta ^{n-1}\nabla ^{2}y_{x}+\ldots .\end{aligned}}$