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signe, aucune des valeurs de ${\frac {\partial ^{3}y}{\partial \mu ^{3}}}$ ne surpassera celle qui est relative à $h\,;$ en désignant donc par $\mathrm {H}$ cette dernière valeur, on aura encore

$0=\iint dpdq'\sin p\cos ^{6}p\left({\frac {7}{3}}\mathrm {H} -{\frac {\partial ^{3}y'}{\partial \mu '^{3}}}\right).$

La quantité ${\frac {7}{3}}\mathrm {H} -{\frac {\partial ^{3}y'}{\partial \mu '^{3}}}$ est évidemment du même signe que $\mathrm {H} ,$ et le facteur $\sin p\cos ^{6}p$ est constamment positif dans toute l’étendue de l’intégrale ; les éléments de cette intégrale sont donc tous du même signe que $\mathrm {H} ,$ d’où il suit que l’intégrale entière ne peut être nulle, à moins que $\mathrm {H}$ ne le soit lui-même, ce qui exige que l’on ait généralement $0={\frac {\partial ^{3}y}{\partial \mu ^{3}}},$ d’où l’on tire, en intégrant,

$y=l+m\mu +n\mu ^{2},$

$l,m,n$ étant des constantes arbitraires.

Si l’on fixe l’origine des rayons au milieu de l’axe de révolution et que l’on prenne pour à la moitié de cet axe, $y$ sera nul lorsque $\mu =1$ et lorsque $\mu =-1,$ ce qui donne $m=0$ et $n=-l\,;\ y$ devient ainsi $l\left(1-\mu ^{2}\right).$ En substituant cette valeur dans l’équation de l’équilibre

$\mathrm {const} ={\frac {4}{3}}\alpha \pi y-\alpha \iint y'dpdq'\sin p-{\frac {1}{2}}g\left(1-\mu ^{2}\right),$

on trouvera

$\alpha l={\frac {15g}{16\pi }}={\frac {5}{4}}\varphi ,$

$\varphi$ étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur, rapport qui est à très peu près égal à ${\frac {3g}{4\pi }}\,;$ le rayon du sphéroïde sera donc $a\left[1+{\frac {5\varphi }{4}}\left(1-\mu ^{2}\right)\right],$ d’où il suit que ce sphéroïde est un ellipsoïde de révolution, ce qui est conforme à ce qui précède.

Nous voilà ainsi parvenu à déterminer directement et indépendamment des suites la figure d’un sphéroïde homogène de révolution qui tourne sur son axe, et à faire voir qu’elle ne peut être que celle d’un ellipsoïde qui se réduit à une sphère lorsque $\varphi =0,$ en sorte que la sphère est la seule figure de révolution qui satisfasse à l’équilibre d’une masse fluide homogène immobile.