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et, en substituant au lieu de $\mathrm {V}$ sa valeur, on aura

$\mathrm {const} .={\frac {4}{3}}\alpha \pi y-\alpha \iint y'dpdq'\sin p-\mathrm {N} ,$

équation qui n’est visiblement que l’équation (12) de l’article XVIII, présentée sous une autre forme. Cette équation étant linéaire, il en résulte que, si un nombre quelconque $i$ de rayons $a(1+\alpha y),\ a(1+\alpha v),\ldots$ y satisfont, le rayon $a(1+\alpha y+\alpha v+\ldots )$ y satisfera pareillement ^[1].

Supposons que les forces étrangères se réduisent à la force centrifuge due au mouvement de rotation du sphéroïde, et nommons $g$ cette force à la distance $1$ de l’axe de rotation ; nous aurons, par l’article XVII,

$\mathrm {N} ={\frac {g}{2}}\left(1-\mu ^{2}\right)\,;$

l’équation de l’équilibre sera, par conséquent,

$\mathrm {const} .={\frac {3}{4}}\alpha \pi y-\alpha \iint y'dpdq'\sin p-{\frac {1}{2}}g\left(1-\mu ^{2}\right).$

En la différenciant trois fois de suite relativement à $\mu ,$ et en observant que ${\frac {\partial \mu '}{\partial \mu }}=\cos ^{2}p,$ on aura

$0={\frac {4}{3}}{\frac {\partial ^{3}y}{\partial \mu ^{3}}}-\iint dpdq'\sin p\cos ^{6}p{\frac {\partial ^{3}y'}{\partial \mu '^{3}}}\,;$

or on a

$\iint dpdq'\sin p\cos ^{6}p={\frac {4\pi }{7}}\,:$

on pourra donc mettre l’équation précédente sous cette forme

$0=\iint dpdq'\sin p\cos ^{6}p\left({\frac {7}{3}}{\frac {\partial ^{3}y}{\partial \mu ^{3}}}-{\frac {\partial ^{3}y'}{\partial \mu '^{3}}}\right).$

Cette équation doit avoir lieu quel que soit $\mu ,$ en sorte que $\mu$ doit disparaître avec les intégrations ; or il est clair que, parmi toutes les valeurs de $\mu$ comprises depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =-1,$ il en existe une que nous désignerons par $h$ et qui est telle que, abstraction faite du

1. Il faudrait prendre la moyenne des rayons, $a\left[1+{\frac {\alpha }{i}}(y+v+\ldots )\right].$
   (Note de l’Éditeur.)