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$p$ ne représente pas exactement la pesanteur, mais seulement la partie de cette force dirigée vers le centre du sphéroïde, en la supposant décomposée en deux, dont l’une soit perpendiculaire au rayon $r,$ et dont l’autre $p$ soit dirigée suivant ce rayon. Le sphéroïde différant très peu de la sphère, la première force sera très petite de l’ordre $\alpha \,;$ en la désignant donc par $\alpha \gamma ,$ la pesanteur sera égale à ${\sqrt {p^{2}+\alpha ^{2}\gamma ^{2}}},$ quantité qui, en négligeant les termes de l’ordre $\alpha ^{2},$ se réduit à $p.$ Nous pouvons ainsi considérer $p$ comme exprimant la pesanteur à la surface du sphéroïde, en sorte que les équations (13) et (14) déterminant et la figure des sphéroïdes homogènes et la loi de la pesanteur à leur surface, elles renferment une théorie complète de ces sphéroïdes, dans la supposition où ils diffèrent très peu d’une sphère.

Si les corps étrangers $\mathrm {S,S',S''} ,\ldots$ sont nuls, et que le sphéroïde ne soit, par conséquent, sollicité que par l’attraction de ses molécules et par la force centrifuge de son mouvement de rotation, ce qui est le cas de la Terre et de toutes les planètes premières, à l’exception de Saturne, on trouvera, en désignant par $\varphi$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur, rapport qui est à très peu près égal à ${\frac {g}{{\frac {4}{3}}\pi }},$

${\begin{aligned}a(1+\alpha y)=&\quad a\left(1+{\frac {1}{4}}\varphi -{\frac {5}{4}}\varphi \mu ^{2}\right),\\p=&{\frac {4}{3}}\pi a\left(1-{\frac {5}{4}}\varphi +{\frac {5}{4}}\varphi \mu ^{2}\right),\\a=&\left(1+{\frac {1}{6}}\varphi \right){\sqrt[{3}]{\frac {\mathrm {M} }{{\frac {4}{3}}\pi }}}\,;\end{aligned}}$

le sphéroïde est donc alors un ellipsoïde de révolution, sur lequel les accroissements de la pesanteur et les diminutions des rayons, en allant de l’équateur aux pôles, sont proportionnels au carré du sinus de la latitude, $\mu$ étant à très peu près égal à ce sinus.

XX.

Les déterminations précédentes sont données directement par l’Analyse et indépendamment de toute hypothèse ; l’équation (14) a, de plus, l’avantage d’être indépendante des séries, puisque nous en