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terme. On a pareillement, en intégrant par parties relativement à $\varpi ,$

$\int \mathrm {U} ^{(i')}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}d\varpi ={\frac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi }}\mathrm {U} ^{(i)}-\mathrm {Y} ^{(i)}{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i')}}{\partial \varpi }}+\int \mathrm {Y} ^{(i)}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {U} ^{(i')}}{\partial \varpi ^{2}}}d\varpi ,$

et ce second membre se réduit encore à son dernier terme lorsque l’intégrale est prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =360^{\circ }\,;$ on aura donc ainsi

$\int \mathrm {Y} ^{(i)}\mathrm {U} ^{(i')}d\mu d\varpi$

$=-{\frac {1}{i(i+1)}}\int \mathrm {Y} ^{(i)}d\mu d\varpi \left\{{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {U} ^{(i')}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} ^{(i')}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}\right\},$

d’où l’on tire, en vertu de la seconde des deux équations précédentes aux différences partielles,

$\int \mathrm {Y} ^{(i)}\mathrm {U} ^{(i')}d\mu d\varpi ={\frac {i'(i'+1)}{i(i+1)}}\int \mathrm {Y} ^{(i)}\mathrm {U} ^{(i')}d\mu d\varpi .$

On aura donc

$0=\int \mathrm {Y} ^{(i)}\mathrm {U} ^{(i')}d\mu d\varpi$

lorsque $i$ est différent de $i'.$

Les quantités $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ étant comprises dans la forme $\mathrm {U} ^{(1)},$ si l’on substitue, dans les trois équations

${\begin{aligned}0=&\int y\mu d\mu d\varpi ,\\0=&\int yd\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\0=&\int yd\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\end{aligned}}$

au lieu de $y,$ sa valeur $\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}} +\ldots ,$ elles se réduisent par le théorème précédent aux trois suivantes :

${\begin{aligned}0=&\int \mathrm {Y} ^{(1)}d\mu d\mu d\varpi ,\\0=&\int \mathrm {Y} ^{(1)}d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\0=&\int \mathrm {Y} ^{(1)}d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\end{aligned}}$

d’où il est aisé de conclure $\mathrm {Y} ^{(1)}=0.$

L’équation

${\frac {4}{3}}\pi a^{3}-\alpha a^{3}\int yd\mu d\varpi =\mathrm {M}$