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Pour exécuter ces intégrations, nous allons démontrer un théorème très général sur les fonctions de la nature de $\mathrm {Y} ^{(i)}\,:$

Si $\mathrm {Y} ^{(i)}$ et $\mathrm {U} ^{(i)}$ sont des fonctions rationnelles et entières de $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,$ qui satisfont aux deux équations suivantes

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)},\\0=&{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {U} ^{(i')}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} ^{(i')}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i'(i'+1)\mathrm {U} ^{(i')},\end{aligned}}$

on aura généralement

$\int \mathrm {Y} ^{(i)}\mathrm {U} ^{(i)}d\mu d\varpi =0,$

lorsque $i$ et $i'$ seront des nombres entiers, positifs et différents entre eux, les intégrales étant prises depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =-1$ et depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =360^{\circ }.$

Pour démontrer ce théorème, nous observerons que, en vertu de la première des deux équations précédentes, on a

${\begin{aligned}\int \mathrm {Y} ^{(i)}\mathrm {U} ^{(i)}d\mu d\varpi =&-{\frac {1}{i(i+1)}}\int \mathrm {U} ^{(i')}{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}d\mu d\varpi \\&-{\frac {1}{i(i+1)}}\int \mathrm {U} ^{(i')}{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}d\mu d\varpi \,;\end{aligned}}$

or on a, en intégrant par parties relativement à $\mu ,$

$\int \mathrm {U} ^{(i')}{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}d\mu$

$={\frac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\left(1-\mu ^{2}\right)\mathrm {U} ^{(i')}-\mathrm {Y} ^{(i)}\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i')}}{\partial \mu }}+\int \mathrm {Y} ^{(i)}{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {U} ^{(i')}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}d\mu \,;$

et il est clair que, si l’on prend l’intégrale depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =-1,$ le second membre de cette équation se réduit à son dernier