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Cette équation peut être mise sous une forme finie, en observant que, par l’article précédent, on a

${\begin{aligned}\alpha \left(\mathrm {Z} ^{(2)}+r\mathrm {Z} ^{(3)}+r^{2}\mathrm {Z} ^{(4)}+\ldots \right)=&-{\frac {g}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\\&-{\frac {\mathrm {S} }{sr^{2}}}-{\frac {\mathrm {S} \delta }{s^{2}r}}+{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}{\sqrt {s^{2}-2sr\delta +r^{2}}}}}\\&-{\frac {\mathrm {S} '}{s'r^{2}}}-\ldots \\&-\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

en sorte que l’intégrale $\int dr\left(\mathrm {Z} ^{(2)}+r\mathrm {Z} ^{(3)}+\ldots \right)$ est facile à déterminer par les méthodes connues.

L’équation précédente du sphéroïde homogène en équilibre renferme l’indéterminée $a$ et la fonction $\mathrm {Y} ^{(1)},$ qui, devant satisfaire à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(1)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(1)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+2\mathrm {Y} ^{(1)},$

est de cette forme

$\mathrm {H} \mu +\mathrm {H} '{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi +\mathrm {H} ''{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,$

$\mathrm {H,H',H''}$ étant des coefficients indéterminés. On déterminera ces constantes par la condition que l’origine des coordonnées, d’où nous supposons partir les rayons du sphéroïde, est à son centre de gravité, et par la masse $\mathrm {M}$ du sphéroïde, que nous supposerons connue. Ces données fournissent les quatre équations suivantes

${\begin{aligned}0=&\int y\mu d\mu d\varpi ,\\0=&\int yd\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\0=&\int yd\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\end{aligned}}$

${\frac {4}{3}}\pi a^{3}-\alpha a^{3}\int yd\mu d\varpi =\mathrm {M} ,$

l’intégrale relative à $\mu$ étant prise depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =-1,$ et l’intégrale relative à $\varpi$ étant prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =360^{\circ }.$