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2^o au lieu de $a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots$ la quantité

$\theta ^{n}\left[a'+b'\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)+c'\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)^{2}+\ldots \right].$

Si de plus on fait, pour abréger, ${\frac {1}{t}}-1={\frac {1}{t'}},$ on aura

${\frac {b'\theta ^{n-1}\left(1-\theta -{\frac {\theta }{t'}}\right)+c'\theta ^{n-2}\left[(1-\theta )^{2}-{\frac {\theta ^{2}}{t'^{2}}}\right]+\ldots +q\left[(1-\theta )^{n}-{\frac {\theta ^{n}}{t'^{n}}}\right]}{\left(1-{\frac {\theta }{t}}\right)\left(a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q-z\theta ^{n}\right)}}\,;$

or on a

$1-{\frac {\theta }{t}}=1-\theta -{\frac {\theta }{t'}}.$

En divisant donc le numérateur de la fraction précédente par cette quantité, elle se réduira à celle-ci

${\frac {\left\{{\begin{aligned}&b'\theta ^{n-1}\\&+c'\theta ^{n-2}\left(1-\theta -{\frac {\theta }{t'}}\right)+e'\theta ^{n-3}\left[(1-\theta )^{2}+(1-\theta ){\frac {\theta }{t'}}+{\frac {\theta ^{2}}{t'^{2}}}\right]+\ldots \\&+q\left[(1-\theta )^{n-1}+(1-\theta )^{n-2}{\frac {\theta }{t'}}+(1-\theta )^{n-2}{\frac {\theta ^{2}}{t'^{2}}}\right]\end{aligned}}\right\}}{a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q-z\theta ^{n}}}$

ou, ce qui revient au même, à

${\frac {\left\{{\begin{aligned}&b'\theta ^{n-1}\\&+c'\theta ^{n-1}\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)+e'\theta ^{n-1}\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)^{2}+\ldots +q\theta ^{n-1}\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)^{n-1}\\&+{\frac {\theta ^{n-1}}{t'}}\left[c'+e'\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)+\ldots +\quad q\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)^{n-2}\right]\\&+{\frac {\theta ^{n-1}}{t'^{2}}}\left[e'+\ldots +\quad q\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)^{n-3}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {q\theta ^{n-1}}{t'^{n-1}}}\end{aligned}}\right\}}{a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q-z\theta ^{n}}}.$

De là il est facile de conclure que, si l’on conserve à $Z_{r}^{(s-1)}$ la même signification que nous lui avons donnée dans l’article V et que l’on considère que, en désignant par $q_{i}$ le coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement d’une fonction quelconque de $\theta ,$ ce même coefficient dans le