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Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de $\mathrm {V} ,$ sa valeur donnée par la formule (7) de l’article XIII, on aura

${\begin{aligned}{\frac {4\pi a^{3}}{3r}}&+{\frac {4\alpha \pi a^{3}}{r}}\left(\mathrm {Y} ^{(0)}+{\frac {a}{3r}}\mathrm {Y} ^{(1)}+{\frac {a^{2}}{5r^{2}}}\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right)\\&+\alpha r^{2}\left(\mathrm {Z} ^{(0)}+\mathrm {Z} ^{(2)}+r\mathrm {Z} ^{(3)}+r^{2}\mathrm {Z} ^{(4)}+\ldots \right)=\mathrm {const} .\,;\end{aligned}}$

ce sera l’équation de la surface du sphéroïde, en y substituant, au lieu de $r,$ sa valeur à la surface

$a(1+\alpha y)=\quad {\text{ou}}\quad a+\alpha a\left(\mathrm {Y} ^{(0)}+\mathrm {Y} ^{(1)}+\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right).$

On aura ainsi, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$

${\begin{aligned}\mathrm {const} .={\frac {4}{3}}\pi a^{2}&+{\frac {8\alpha \pi a^{2}}{3}}\left(\mathrm {Y} ^{(0)}-{\frac {1}{5}}\mathrm {Y} ^{(2)}-{\frac {2}{7}}\mathrm {Y} ^{(3)}-{\frac {3}{9}}\mathrm {Y} ^{(4)}-\ldots \right)\\&+\alpha a^{2}\ \ \quad \left(\mathrm {Z} ^{(0)}+\mathrm {Z} ^{(2)}\ \ +a\mathrm {Z} ^{(3)}+a^{2}\mathrm {Z} ^{(4)}+\ldots \right).\end{aligned}}$

On peut supposer $a$ tel que ${\frac {4}{3}}\pi a^{2}=\mathrm {const.} ,$ et, comme les fonctions $\mathrm {Y} ^{(i)}$ et $\mathrm {Z} ^{(i)}$ sont semblables, c’est-à-dire assujetties à la même équation aux différences partielles, leur comparaison dans l’équation précédente donnera généralement, $i$ étant plus grand que l’unité,

$\mathrm {Y} ^{(i)}={\frac {3}{8\pi }}{\frac {2i+1}{i-1}}a^{i-2}\mathrm {Z} ^{(i)},$

équation que l’on peut mettre sous cette forme

$\mathrm {Y} ^{(i)}={\frac {3}{4\pi }}a^{i-2}\mathrm {Z} ^{(i)}+{\frac {9}{8a\pi }}\int r^{i-2}dr\mathrm {Z} ^{(i)},$

l’intégrale étant prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=a.$ On aura de plus

$\mathrm {Y} ^{(0)}=-{\frac {3}{8\pi }}\mathrm {Z} ^{(0)}.$

De là, il est facile de conclure que le rayon $a(1+\alpha y)$ du sphéroïde sera donné par l’équation suivante

(13)

$\left\{{\begin{aligned}&a(1+\alpha y)=\\&\left[a-{\frac {3\alpha a}{8\pi }}\mathrm {Z} ^{(0)}+\alpha a\mathrm {Y} ^{(1)}+{\frac {3\alpha a}{4\pi }}\left(\mathrm {Z} ^{(2)}+a\mathrm {Z} ^{(3)}+a^{2}\mathrm {Z} ^{(4)}+\ldots \right)\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {9\alpha }{8\pi }}\int dr\left(\mathrm {Z} ^{(2)}+r\mathrm {Z} ^{(3)}+r^{2}\mathrm {Z} ^{(4)}+\ldots \right)\right]\end{aligned}}\right.$