satisfaisant, quel que soit à l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Z} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Z} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Z} ^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99546eecbd656755fbd6f145454df93a4db47ab)
L’équation générale de l’équilibre sera donc
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Si les corps étrangers sont très éloignés du sphéroïde, on pourra négliger les quantités parce que, les différents termes de ces quantités étant divisés respectivement par ces termes deviennent très petits lorsque est très grand par rapport à Ce cas a lieu pour les planètes et pour les satellites, à l’exception de Saturne dont l’anneau est trop près de sa surface pour n’avoir pas égard aux termes précédents. Il faut donc, dans la théorie de la figure de cette planète, prolonger indéfiniment le second membre de la formule (11), qui a l’avantage de former une série toujours convergente ; et comme alors le nombre des corpuscules extérieurs au sphéroïde est infini, les valeurs de seront données en intégrales définies, dépendantes de la figure et de la constitution intérieure de l’anneau de Saturne.
On peut observer que, si le sphéroïde est formé d’un noyau solide de figure quelconque recouvert par un fluide, l’équation (11) peut servir encore à déterminer la nature des couches de la partie fluide, en considérant que doit toujours être fonction de et qu’ainsi le second membre de cette équation doit être constant à la surface extérieure et à celles de toutes les couches de densité constante.
Considérons d’abord le cas où le sphéroïde est homogène. Nous avons vu dans l’article précédent qu’il suffit alors que l’on ait à la surface extérieure
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