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Il résuite d’ailleurs de l’article IX que l’on a

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {P} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {P} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {P} ^{(i)}\,;$

en sorte que les termes de la série précédente ont cette propriété commune avec ceux de $\mathrm {V} .$ On aura, cela posé,

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {S} }{f}}&-{\frac {\mathrm {S} }{s^{2}}}\left(x''\cos \nu +y''\sin \nu \cos \psi +z''\sin \nu \sin \psi \right)-{\frac {\mathrm {S} }{s}}\\&={\frac {\mathrm {S} r^{2}}{s^{3}}}\left(\mathrm {P} ^{(2)}+{\frac {r}{s}}\mathrm {P} ^{(3)}+{\frac {r^{2}}{s^{2}}}\mathrm {P} ^{(4)}+\ldots \right).\end{aligned}}$

S’il y a d’autres corps $\mathrm {S',S''} ,\ldots ,$ en désignant par $s',\nu ',\psi ',\mathrm {P} ',s'',\nu '',$$\psi '',\mathrm {P} '',\ldots$ relativement à ces différents corps, ce que nous avons nommé $s,\nu ,\psi ,\mathrm {P} ,$ relativement au corps $\mathrm {S} ,$ on aura les parties de l’intégrale

$\int (\mathrm {F} df+\mathrm {F} 'df'+\ldots )$

dues à leur action, en marquant successivement d’un trait, de deux traits, etc. les lettres $s,\nu ,\psi ,P,$ dans l’expression précédente de la partie de cette intégrale qui est due à l’action du corps $\mathrm {S} .$

Si l’on rassemble toutes les parties de cette intégrale et que l’on fasse

${\frac {g}{3}}=\alpha \mathrm {Z} ^{(0)},$

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {S} }{s^{3}}}\mathrm {P} ^{(2)}+{\frac {\mathrm {S} '}{s'^{3}}}\mathrm {P} '^{(2)}+\ldots -{\frac {g}{2}}\left(\mu ^{2}-1\right)=\alpha \mathrm {Z} ^{(2)},\\&{\frac {\mathrm {S} }{s^{4}}}\mathrm {P} ^{(3)}+{\frac {\mathrm {S} '}{s'^{4}}}\mathrm {P} '^{(3)}+\ldots =\alpha \mathrm {Z} ^{(3)},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$\alpha$ étant un très petit coefficient, parce que la condition d’un sphéroïde très peu différent de la sphère exige que les forces perturbatrices soient très petites, on aura

$\int (\mathrm {F} df+\mathrm {F} 'df'+\ldots )=\mathrm {V} +\alpha r^{2}\left(\mathrm {Z} ^{(0)}+\mathrm {Z} ^{(2)}+r\mathrm {Z} ^{(3)}+r^{2}\mathrm {Z} ^{(4)}+\ldots \right),$