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les deux premières intégrales étant prises depuis $a=a$ jusqu’à $a=\mathrm {a} ,$ et les deux dernières étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=a.$ Il faut, de plus, après les intégrations, substituera au lieu de $r$ dans les termes multipliés par $\alpha ,$ et ${\frac {1-\alpha y}{a}}$ au lieu de ${\frac {1}{r}}$ dans le terme ${\frac {4\pi }{3r}}\int \rho da^{3}.$

Quatrième Section.

De la figure des planètes.

XVII.

L’observation nous apprend que les planètes sont des sphéroïdes très peu différents de la sphère, et l’analogie nous porte à penser que, semblables à la Terre, elles sont recouvertes, au moins en partie, d’un fluide en équilibre : ce sont les conditions de cet équilibre qui déterminent leurs figures et, par cette raison, nous allons rappeler ici l’équation générale de l’équilibre d’une masse fluide sollicitée par des forces quelconques.

Si l’on nomme $\rho$ la densité d^une molécule fluide ; $\Pi$ la pression qu’elle éprouve ; $\mathrm {F,F',F''} ,\ldots$ les forces dont elle est animée ; $df,df',df'',\ldots$ les éléments des directions de ces forces, l’équation générale de l’équilibre de la masse fluide sera, comme l’on sait,

${\frac {d\Pi }{\rho }}=\mathrm {F} df+\mathrm {F} 'df'+\mathrm {F} ''df''+\ldots .$

Supposons que le second membre de cette équation soit une différence exacte, $\Pi$ sera nécessairement fonction de $\rho \,;$ ainsi, relativement aux couches de densité constante, on aura $d\Pi =0$ et, par conséquent,

$0=\mathrm {F} df+\mathrm {F} 'df'+\mathrm {F} ''df''+\ldots ,$

équation qui indique que la résultante de toutes les forces $\mathrm {F,F',F''} ,\ldots$ est perpendiculaire à la surface de ces couches, en sorte qu’elles sont en même temps couches de niveau. $\Pi$ étant nul à la surface extérieure, $\rho$ doit y être constant, et la résultante de toutes les forces qui animent