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mule (7) de l’article XIII, et que l’on nomme $\rho$ la densité de la couche dont le rayon est $a(1+\alpha y),\ \rho$ étant une fonction de $a,$ la valeur de $\mathrm {V}$ correspondante à cette couche sera, pour un point extérieur,

${\frac {4\pi }{3r}}\rho da^{3}+{\frac {4\alpha \pi }{r}}\rho d\left(a^{3}\mathrm {Y} ^{(0)}+{\frac {a^{4}}{3r}}\mathrm {Y} ^{(1)}+{\frac {a^{5}}{5r^{2}}}\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right)\,;$

cette valeur sera donc, relativement au sphéroïde entier,

(9)

${\begin{aligned}\mathrm {V} =&{\frac {4\pi }{3r}}\int \rho da^{3}\\&+{\frac {4\alpha \pi }{r}}\int \rho d\left(a^{3}\mathrm {Y} ^{(0)}+{\frac {a^{4}}{3r}}\mathrm {Y} ^{(1)}+{\frac {a^{5}}{5r^{2}}}\mathrm {Y} ^{(2)}+{\frac {a^{6}}{7r^{3}}}\mathrm {Y} ^{(3)}+\ldots \right),\end{aligned}}$

les intégrales étant prises depuis $a=0$ jusqu’à la valeur de $a$ qui a lieu à la surface du sphéroïde et que nous désignerons par $\mathrm {a} .$

Pour avoir la valeur de $\mathrm {V}$ relative à un point intérieur, on déterminera d’abord la partie de cette valeur qui est relative à toutes les couches dans l’intérieur desquelles ce point se trouve, on lui ajoutera ensuite l’autre partie de cette valeur, qui est relative à toutes les couches auxquelles ce point est extérieur.

On aura la première de ces deux parties en différenciant la formule (8) par rapport à $a\,;$ en multipliant ensuite cette différentielle par $\rho$ et en en prenant l’intégrale depuis $a=a$ jusqu’à $a=\mathrm {a} ,\ a$ étant la valeur de $a$ relative à la couche sur laquelle se trouve le point attiré. On aura ainsi pour cette première partie de $\mathrm {V}$

$2\pi \int \rho da^{2}+4\alpha \pi \int \rho d\left(a^{2}\mathrm {Y} ^{(0)}+{\frac {ar}{3}}\mathrm {Y} ^{(1)}+{\frac {r^{2}}{5}}\mathrm {Y} ^{(2)}+{\frac {r^{3}}{7a}}\mathrm {Y} ^{(3)}+\ldots \right).$

La seconde partie de $\mathrm {V}$ sera, par ce qui précède,

${\frac {4\pi }{3r}}\int \rho da^{3}+{\frac {4\alpha \pi }{r}}\int \rho d\left(a^{3}\mathrm {Y} ^{(0)}+{\frac {a^{4}}{3r}}\mathrm {Y} ^{(1)}+\ldots \right),$

ces dernières intégrales étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=a.$ On aura donc, pour la valeur entière de $\mathrm {V}$ relative à un point intérieur,

(10)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {V} =2\pi \int \rho da^{2}\\&+4\alpha \pi \int \rho d\left(a^{2}\mathrm {Y} ^{(0)}+{\frac {ar}{3}}\mathrm {Y} ^{(1)}+{\frac {r^{2}}{5}}\mathrm {Y} ^{(2)}+{\frac {r^{3}}{7a}}\mathrm {Y} ^{(3)}+\ldots \right)\\&+{\frac {4\pi }{3r}}\int \rho da^{3}+{\frac {4\alpha \pi }{r}}\int \rho d\left(a^{3}\mathrm {Y} ^{(0)}+{\frac {a^{4}}{3r}}\mathrm {Y} ^{(1)}+{\frac {a^{5}}{5r^{2}}}\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right),\end{aligned}}\right.$