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On aura donc, par la formule précédente, l’intégrale de toutes les équations linéaires aux différences finies dont les coefficients sont constants, dans le cas où elles ont un dernier terme qui est fonction de $i.$

VII.

On peut donner à l’expression de ${\frac {1}{t^{i}}}$ une infinité d’autres formes parmi lesquelles il s’en trouve qui peuvent être utiles dans plusieurs cas. Voici comment on peut y parvenir.

Pour cela, supposons que, au lieu de donner, comme ci-dessus, à ${\frac {1}{t^{i}}}$ cette forme

${\frac {1}{t^{i}}}=\mathrm {Z} +{\frac {1}{t}}\mathrm {Z} ^{(1)}+{\frac {1}{t^{2}}}\mathrm {Z} ^{(2)}+\ldots +{\frac {1}{t^{n-1}}}\mathrm {Z} ^{(n-1)},$

on lui donne celle-ci

${\frac {1}{t^{i}}}=\mathrm {Z} +\left({\frac {1}{t}}-1\right)\mathrm {Z} ^{(1)}+\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}\mathrm {Z} ^{(2)}+\ldots +\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-1}\mathrm {Z} ^{(n-1)},$

la question se réduit à déterminer $Z,Z^{(1)},Z^{(2)},\ldots .$

On mettra d’abord l’équation

$z=a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {p}{t^{n-1}}}+{\frac {q}{t^{n}}}$

sous cette forme

$z=a'+b'\left({\frac {1}{t}}-1\right)+c'\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}+\ldots +p'\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-1}+q'\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n},$

et l’on aura

$a=a'-b'+c'-\ldots \mp p'\pm q',$

les signes supérieurs ayant lieu si $n$ est pair et les signes inférieurs si $n$ est impair. On multipliera ensuite, comme précédemment, le numérateur et le dénominateur de la fraction ${\frac {1}{1-{\frac {\theta }{t}}}}$ par

$(a-z)\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q,$

en observant de substituer dans le numérateur : 1^o au lieu de $z,$

$a'+b'\left({\frac {1}{t}}-1\right)+c'\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}+\ldots \,;$