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roïde, augmenté de deux unités. Si cette équation était telle que l’on eût $y=\mathrm {Y} ^{(i)},$ la valeur de $\mathrm {V}$ relative à l’excès du sphéroïde sur la sphère dont le rayon est $a,$ ou, ce qui revient au même, à une couche sphérique dont le rayon est $a$ et l’épaisseur $\alpha ay,$ serait ${\frac {4\alpha \pi a^{i+3}}{(2i+1)r^{i+1}}}\mathrm {Y} ^{(i)}\,;$ cette valeur serait, par conséquent, proportionnelle à $y,$ et il est visible que ce n’est que dans ce cas que cette proportionnalité peut avoir lieu.

Lorsque la surface du sphéroïde est du second ordre, on peut, en déterminant convenablement l’origine des coordonnées, réduire son équation à cette forme $y=\mathrm {Y} ^{(i)}\,;$ ainsi la valeur de $\mathrm {V} ,$ relative à l’excès de ce sphéroïde sur une sphère dont le rayon est $a,$ est proportionnelle à l’excès du rayon du sphéroïde sur celui de la sphère.

XV.

Supposons maintenant le point attiré dans l’intérieur du sphéroïde ; nous aurons, par l’article XII,

$\mathrm {V} =2\pi a^{2}-{\frac {2}{3}}\pi r^{2}+v^{(0)}+v^{(1)}r+v^{(2)}r^{2}+v^{(3)}r^{3}+\ldots ,$

$v^{(i)}$ étant égal a $\int {\frac {\mathrm {Q} ^{(i)}}{\mathrm {R} ^{i-1}}}d\mathrm {R} d\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$ et cette valeur étant relative à une couche dont la surface intérieure est sphérique et de rayon $a,$ et dont le rayon de la surface extérieure est $\mathrm {R} ',$ en sorte que, si l’on fait $\mathrm {R} '=a(1+\alpha y'),\ y'$ étant une fonction de $\varpi '$ et de $\theta ',$ semblable à celle de $y$ en $\varpi ,$ et $\theta ,$ on aura, aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{2},$

$v^{(i)}={\frac {\alpha }{\alpha ^{i-2}}}\int y'\mathrm {Q} ^{(i)}d\varpi 'd\theta '\sin \theta '.$

Maintenant on a, par l’article XIII, relativement aux points extérieurs,

$\mathrm {V} ={\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{3}}{r}}+{\frac {\mathrm {U} '^{(0)}}{r}}+{\frac {\mathrm {U} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {\mathrm {U} ^{(2)}}{r^{3}}}+\ldots ,$

et il est clair que, ${\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{3}}{r}}$ étant la valeur de $\mathrm {V}$ relative à une sphère dont le rayon est $a,$ la partie ${\frac {\mathrm {U} '^{(0)}}{r}}+{\frac {\mathrm {U} ^{(1)}}{r^{2}}}+\ldots$ de l’expression précédente