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suivant ce procédé, il est aisé de voir que, si l’on fait

${\begin{aligned}{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial y}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}\quad +{\frac {\cfrac {\partial ^{2}y}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}=&y^{(1)},\\{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial y^{(1)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}y^{(1)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}=&y^{(2)},\\{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial y^{(2)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}y^{(2)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}=&y^{(3)},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura les $i+1$ équations

$\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+\ldots +Y} ^{(i)}=y,$

$1.2\mathrm {Y} ^{(1)}+2.3\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots +i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)}=-y^{(1)},$

$(1.2)^{2}\mathrm {Y} ^{(1)}+(2.3)^{2}\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots +\left[i(i+1)\right]^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}=y^{(2)},$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

$(1.2)^{i}\mathrm {Y} ^{(1)}+(2.3)^{i}\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots +\left[i(i+1)\right]^{i}\mathrm {Y} ^{(i)}=(-1)^{i}y^{(i)}.$

On déterminera, au moyen de ces équations, les $i+1$ quantités $\mathrm {Y^{(0)},Y^{(1)},Y^{(2)}} ,\ldots ,$ ce qui sera d’autant plus facile que chaque inconnue étant, dans ces diverses équations, multipliée par les puissances successives d’un même nombre, il existe des méthodes très simples pour avoir, dans ce cas, les inconnues.

Les expressions de $y^{(1)},y^{(2)},\ldots$ se présentent sous une forme fractionnaire ; mais, puisqu’elles sont égales à la somme des fonctions entières $\mathrm {Y^{(0)},Y^{(1)},Y^{(2)}} ,\ldots ,$ multipliées par des constantes, on voit, a priori, qu’elles doivent être, ainsi que $y,$ des fonctions rationnelles et entières de

$\mu ,\quad {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi \quad {\text{et}}\quad {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi .$

Le nombre des quantités $\mathrm {Y^{(0)},Y^{(1)}} ,\ldots$ est fini toutes les fois que l’équation du sphéroïde est une fonction finie et rationnelle de $x'',y'',z''.$ Dans ce cas, la formule (7) de l’article précédent se termine, et le nombre de ses termes est égal au degré de l’équation du sphé-