roïde, rapportée à trois coordonnées orthogonales, est une fonction rationnelle et entière de ces coordonnées.
XIV.
Si l’on nomme
ces coordonnées, l’équation de la surface du sphéroïde pourra être mise sous cette forme
![{\displaystyle x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}=a^{2}\left[1+2\alpha \varphi (x'',y'',z'')\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c975cf3b75500cc024a376cfb2c145c9023877a1)
étant une fonction rationnelle et entière de
Soit
le degré de cette fonction : comme elle est multipliée par
on pourra y substituer, au lieu de
sa valeur
approchée aux quantités près de l’ordre
elle sera ainsi composée de deux parties : l’une rationnelle et entière, en
et
de l’ordre
et l’autre rationnelle et entière de l’ordre
et multipliée par
Le nombre des coefficients de la première partie est
et celui des coefficients de la seconde est
en sorte que le nombre de coefficients de la fonction entière est ![{\displaystyle (i+1)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43bb82980f9d7d119d993d979c9ed56b211f62f)
Cela posé, si l’on nomme, comme ci-dessus,
le rayon du sphéroïde ;
l’angle que forme ce rayon avec l’axe des
l’angle que forme avec le plan des
et des
celui qui passe par l’axe des
et par le point de la surface déterminé par les coordonnées
et
on aura, en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x''=&a(1+\alpha y)\mu ,\\y''=&a(1+\alpha y){\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\z''=&a(1+\alpha y){\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080264025374d87e16465ff44593f72b24d5a568)
l’équation précédente donnera donc, en négligeant les quantités de l’ordre ![{\displaystyle \alpha ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cec7e4711eca9569982da128a1b5186ae022e7)
![{\displaystyle y=\varphi \left(a\mu ,\ a{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\ a{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9815bb39e3eab5fd543fafccb7fb7d9131d70d6)
Cette dernière fonction peut être mise sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}+\ldots +Y} ^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e96c7b91fcf0fd9faf8d909436c6d0e20377cd5)