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l’ordre $\alpha .$ Si l’on différentie cette formule par rapport à $r,$ on aura

$-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}={\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{3}}{r^{2}}}+{\frac {\mathrm {U} '^{(0)}}{r^{2}}}+{\frac {2\mathrm {U} ^{(1)}}{r^{3}}}+{\frac {3\mathrm {U} ^{(2)}}{r^{4}}}+\ldots \,;$

on aura par conséquent, à la surface où $r=a(1+\alpha y),$

$-a{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}={\frac {4}{3}}\pi a^{2}(1-2\alpha y)+{\frac {\mathrm {U} '^{(0)}}{a}}+{\frac {2\mathrm {U} ^{(1)}}{a^{2}}}+{\frac {3\mathrm {U} ^{(2)}}{a^{3}}}+\ldots .$

La valeur précédente de $\mathrm {V}$ donne à cette surface

${\frac {1}{2}}\mathrm {V} ={\frac {2}{3}}\pi a^{2}(1-\alpha y)+{\frac {\mathrm {U} '^{(0)}}{2a}}+{\frac {\mathrm {U} ^{(1)}}{2a^{2}}}+{\frac {\mathrm {U} ^{(2)}}{2a^{3}}}+\ldots \,;$

en substituant donc ces valeurs dans l’équation (6), on aura

$4\alpha \pi a^{2}y={\frac {\mathrm {U} '^{(0)}}{a}}+{\frac {3\mathrm {U} ^{(1)}}{a^{2}}}+{\frac {5\mathrm {U} ^{(2)}}{a^{3}}}+\ldots .$

Partant, si l’on conçoit $y$ sous cette forme

$y=\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}+Y^{(3)}} +\ldots ,$

les quantités $\mathrm {Y^{(0)},Y^{(1)},Y^{(2)}} ,\ldots$ étant, ainsi que $\mathrm {U'^{(0)},U^{(1)},U^{(2)}} ,\ldots ,$ assujetties à cette équation aux différences partielles,

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)}\,;$

on aura généralement, en comparant les fonctions semblables,

$\mathrm {U} ^{(i)}={\frac {4\alpha \pi }{2i+1}}a^{i+3}\mathrm {Y} ^{(i)},$

d’où l’on tire

(7)

$\mathrm {V} ={\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{3}}{r}}+4\alpha \pi {\frac {a^{3}}{r}}\left(\mathrm {Y} ^{(0)}+{\frac {a}{3r}}\mathrm {Y} ^{(1)}+{\frac {a^{2}}{5r^{2}}}\mathrm {Y} ^{(2)}+{\frac {a^{3}}{7r^{3}}}\mathrm {Y} ^{(3)}+\ldots \right).$

Il ne s’agit donc plus, pour avoir $\mathrm {V} ,$ que de réduire $y$ sous la forme que nous venons de lui supposer. Nous allons donner pour cet objet une méthode fort simple, lorsque l’équation de la surface du sphé-