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ainsi, pour la valeur de $\mathrm {V}$ relative à un sphéroïde très peu différent de la sphère,

$\mathrm {V} ={\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{3}(1+\alpha y)^{3}}{r}}$

$+\alpha a^{3}\int {\frac {(y'-y)d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {r^{2}-2ar\left[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')\right]+a^{2}}}}.$

Si l’on différentie cette équation par rapport à $r,$ on aura

$-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}={\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{3}(1+\alpha y)^{3}}{r^{2}}}+\alpha a^{3}$

$\times \int {\frac {(y'-y)d\varpi 'd\theta '\sin \theta '\left\{r-2a\left[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')\right]\right\}}{\left\{r^{2}-2ar\left[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')\right]+a^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}},$

ce qui donne à la surface du sphéroïde, où $r=a(1+\alpha y),$

$-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}={\frac {4}{3}}\pi a(1+\alpha y)$

$+\alpha a\int {\frac {(y'-y)d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{2^{\frac {3}{2}}{\sqrt {1-\cos \theta \cos \theta '-\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')}}}}\,;$

mais la valeur de $\mathrm {V}$ devient dans ce cas

$\mathrm {V} ={\frac {4}{3}}\pi a^{2}(1+2\alpha y)$

$+\alpha a^{2}\int {\frac {(y'-y)d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{2^{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-\cos \theta \cos \theta '-\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')}}}}\,;$

on a donc à la surface du sphéroïde cette équation remarquable

(6)

$-a{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}={\frac {2}{3}}\pi a^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} .$

Reprenons maintenant la formule de l’article IX

$\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {U} ^{(0)}}{r}}+{\frac {\mathrm {U} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {\mathrm {U} ^{(2)}}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {U} ^{(3)}}{r^{4}}}+\ldots .$

Puisque le sphéroïde diffère très peu d’une sphère du rayon $a,$ il est évident que l’on aura, aux quantités près de l’ordre $\alpha ,\ \mathrm {V} ={\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{3}}{r}},$ d’où il suit que dans la formule précédente : 1^o la quantité $\mathrm {U} ^{(0)}$ est égale à ${\frac {4}{3}}\pi a^{3},$ plus à une très petite quantité de l’ordre $\alpha ,$ et que nous désignerons par $\mathrm {U} '^{(0)}\,;$ 2^o les quantités $\mathrm {U^{(1)},U^{(2)}} ,\ldots$ sont très petites de