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cocfïicient de

${\frac {\mathrm {R} ^{i}}{r^{i+1}}}{\frac {e^{n(\varpi -\varpi '){\sqrt {-1}}}+e^{-n(\varpi -\varpi '){\sqrt {-1}}}}{2}}$

ou ce qui revient au même, de

${\frac {\mathrm {R} ^{i}}{r^{i+1}}}\cos n(\varpi -\varpi ')$

dans le développement de cette fonction, est égal à

$2{\frac {1.3.5\ldots (i+n-1).1.3.5\ldots (i-n-1)}{2.4.6\ldots (i+n).2.4.6\ldots (i-n)}}\,;$

c’est la valeur de ${\text{ϐ}}$ ou de $\gamma \lambda \lambda '$ lorsqu’on y fait $\mu$ et $\mu '$ nuls ; or on a, dans cette hypothèse, $\lambda =\lambda '\,:$ on aura donc ainsi la valeur de $\gamma \lambda '^{2}.$ En la combinant avec celle que nous venons de trouver pour $\gamma \lambda ',$ il est facile d’en conclure

$\gamma ={\frac {2(i+n+1)(i+n+3)\ldots (2i-1)(i-n+1)(i-n+3)\ldots (2i-1)}{2.4.6\ldots (i+n).2.4.6\ldots (i-n)}}\,;$

la valeur générale de ${\text{ϐ}}$ sera, par conséquent,

${\begin{aligned}{\text{ϐ}}=&{\frac {2(i+n+1)\ldots (2i-1)(i-n+1)\ldots (2i-1)}{2.4\ldots (i+n).2.4\ldots (i-n)}}\\&\times \left[\left(1-\mu ^{2}\right)^{\frac {i}{2}}\ -{\frac {i^{2}-n^{2}}{2(2i-1)}}\left(1-\mu ^{2}\right)^{{\frac {i}{2}}-1}\ +\ldots \right]\\&\times \left[\left(1-\mu '^{2}\right)^{\frac {i}{2}}-{\frac {i^{2}-n^{2}}{2(2i-1)}}\left(1-\mu '^{2}\right)^{{\frac {i}{2}}-1}+\ldots \right].\end{aligned}}$

Si l’on fait successivement, dans le terme ${\text{ϐ}}\cos n(\varpi -\varpi '),$

la somme de ces termes sera la partie de $\mathrm {Q} ^{(i)}$ dépendante de l’angle $\varpi -\varpi '\,;$ en lui ajoutant la partie qui en est indépendante, et que nous avons déterminée dans l’article précédent, on aura la valeur entière de $\mathrm {Q} ^{(i)},$ d’où l’on tirera celle de $\mathrm {U} ^{(i)},$ et par conséquent la valeur de $\mathrm {V}$ en série.