ce qui donne, dans ce cas.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\times \left[\left(1-\mu ^{2}\right)^{\frac {i}{2}}\cos ^{i}(\varpi -\varpi ')\right.\\&\quad -{\frac {i(i-1)}{2(2i-1)}}\left(1-\mu ^{2}\right)^{{\frac {i}{2}}-1}\cos ^{i-2}(\varpi -\varpi ')\\&\quad +{\frac {i(i-1)(i-2)(i-3)}{2.4(2i-1)(2i-3)}}\left(1-\mu ^{2}\right)^{{\frac {i}{2}}-2}\cos ^{i-4}(\varpi -\varpi ')\\&\quad -\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \left.{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081291d25e43718c953429b08e7c3f9225b11ed0)
En développant cette fonction en cosinus de l’angle 
et de ses multiples, il est aisé de voir que l’on n’aura que des multiples pairs ou impairs, suivant que 
sera lui-même pair ou impair, et que le coefficient de 
sera égal à
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\times \left[\left(1-\mu ^{2}\right)^{2}-{\frac {i^{2}-n^{2}}{2(2i-1)}}\left(1^{2}-\mu ^{2}\right)^{{\frac {i}{2}}-1}\right.\\&+{\frac {\left(i^{2}-n^{2}\right)\left[(i-2)^{2}-n^{2}\right]}{2.4(2i-1)(2i-3)}}\left(1-\mu ^{2}\right)^{{\frac {i}{2}}-2}\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \left.{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9217ec7594509ec505b228c7631992e711487d5)
ce sera la valeur de 
ou de 
lorsqu’on fait 
dans 
En prenant donc pour 
la partie de ce coefficient qui est comprise entre les deux parenthèses, on aura
étant supposé nul dans Cette équation donnera 
mais on l’obtiendra plus simplement de cette manière.
Si l’on fait à la fois, dans 
et égaux à zéro, on aura
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. Le
