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coefficient est égal à $\mathrm {Z} _{x+i-ns}^{(s-1)}\,;$ donc le coefficient de $t^{x+i}$ dans le développement de ${\frac {\lambda }{z^{s}}},$ sera

$\mathrm {X} _{x+i-ns}\mathrm {Z} _{0}^{(s-1)}+\mathrm {X} _{x+i-ns-1}\mathrm {Z} _{1}^{(s-1)}+\ldots +\mathrm {X} _{0}\mathrm {Z} _{x+i-ns}^{(s-1)}$

${\text{ou}}\quad \sum \mathrm {X} _{r}\mathrm {Z} _{x+i-ns-r}^{(s+1)},$

l’intégrale étant prise relativement à $r$ et depuis $r=0$ jusqu’à $r=x+i-ns\,;$ cette intégrale sera l’expression de $y''_{x+i}.$

Dans le cas présent, il est facile de la réduire à des intégrales relatives à $i,$ car il résulte de l’expression que nous avons donnée de $\mathrm {Z} _{i}^{(s-1)}$ dans l’article précédent, que celle de $\mathrm {Z} _{x+i-ns-r}^{(i-1)}$ est réductible à des termes de cette forme $\mathrm {K} {\text{ϐ}}^{r}r^{\mu },$ en sorte que le terme correspondant de $\sum \mathrm {X} _{r}\mathrm {Z} _{x+i-ns-r}^{(s-1)}$ sera $\mathrm {K} \sum {\text{ϐ}}^{r}r^{\mu }\mathrm {X} _{r},\ \mathrm {K}$ étant fonction de $x+i-ns\,;$ or, si l’on désigne par la caractéristique $\sum '$ l’intégrale relative à $i,$ on aura

$\mathrm {K} \sum {\text{ϐ}}^{r}r^{\mu }\mathrm {X} _{r}=\mathrm {K} \sum '{\text{ϐ}}^{x+i-ns}(x+i-ns)^{\mu }\mathrm {X} _{x+i-ns},$

pourvu que l’on termine l’intégrale relative à $r,$ lorsque $r$ égale $x+i-ns\,;$ on réduira ainsi l’intégrale $\sum \mathrm {X} _{r}\mathrm {Z} _{x+i-ns-r}^{(s-1)}$ à des intégrales uniquement relatives à la variable $i.$ Cela posé, si dans la formule (B) on fait $x=0$ et $\nabla ^{s}y_{i}=0,$ elle donnera

$y'_{i}+\sum \mathrm {X} _{r}\mathrm {Z} _{i-ns-r}^{(s-1)}$

$=\left\{{\begin{aligned}&\ \qquad \quad y_{0}\left(b\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\,\ +c\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}\ \,+\ldots +q\mathrm {Z} _{i}^{(0)}\right)\\&+\ \quad \nabla y_{0}\left(b\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+c\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-n}^{(1)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\nabla ^{s-1}y_{0}\left(b\mathrm {Z} _{i-sn+1}^{(s-1)}+c\mathrm {Z} _{i-sn+2}^{(s-1)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-sn+n}^{(s-1)}\right)\end{aligned}}\right\}$

$+\left\{{\begin{aligned}&+\ \qquad y_{1}\left(c\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\,\ +\ldots \ldots \ldots \ldots \ \ +q\mathrm {Z} _{i-1}^{(0)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\nabla ^{s-1}y_{1}\left(c\mathrm {Z} _{i-sn+1}^{(s-1)}\,+\ldots \ldots \ldots \ldots \ \ +q\mathrm {Z} _{i-sn-1}^{(s-1)}\right)\end{aligned}}\right\}$

${\begin{aligned}&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+q\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}y_{n-1}+q\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\nabla y_{n-1}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-sn+1}^{(s-1)}\nabla ^{s-1}y_{n-1},\end{aligned}}$

$y_{0},\nabla y_{0}\ldots \nabla ^{s-1}y_{0},y_{1},\nabla y_{1}\ldots \nabla ^{s-1}y_{1},\ldots ,y_{n-1},\nabla y_{n-1}\ldots \nabla ^{s-1}y_{n-1}$ étant les $sn$ arbitraires de l’intégrale de l’équation

$\nabla ^{s}y_{i}=0\qquad {\text{ou}}\qquad \nabla ^{s}y'_{i}+\nabla ^{s}y''_{i}=0\,;$

or, $\nabla ^{s}y''_{i}$ étant égal à $\mathrm {X} _{i},$ cette équation devient

$0=\nabla ^{s}y'_{i}+\mathrm {X} _{i}.$