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et, comme cette valeur de $\mathrm {Q} ^{(i)}$ est indépendante de l’angle $\varpi -\varpi ',$ elle sera égale à ce que devient ${\text{ϐ}}$ lorsque $n=0,$ et lorsqu’on y fait d’ailleurs $\mu '=1.$ Maintenant, si l’on prend pour la fonction $\lambda$ cette valeur même de $\mathrm {Q} ^{(i)}$ puisqu’elle est égale à $\gamma \lambda \lambda '$ lorsqu’on fait $\mu '=1$ dans $\lambda ',$ il est clair que l’on aura, dans ce cas, $\gamma \lambda '=1.$ Or, si dans l’expression de $\mathrm {T}$ on fait à la fois $\mu =1$ et $\mu '=1,$ elle devient ${\frac {1}{r-\mathrm {R} }}\,;$ partant $\mathrm {Q} ^{(i)}$ se réduit à l’unité, ou, ce qui revient au même, on a $\gamma \lambda \lambda '=1\,;$ mais on a $\gamma \lambda '=1\,:$ donc $\lambda$ se réduit à l’unité lorsqu’on y fait $\mu =1,$ ce qui a lieu également pour $\lambda '$ lorsqu’on y fait $\mu '=1.$ On aura ainsi

$\gamma =1$

et

$\lambda ={\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}\left[\mu ^{i}-{\frac {i(i-1)}{2(2i-1)}}\mu ^{i-2}+{\frac {i(i-1)(i-2)(i-3)}{2.4(2i-1)(2i-3)}}\mu ^{i-4}\right.$

$\left.-{\frac {i(i-1)(i-2)(i-3)(i-4)(i-5)}{2.4.6(2i-1)(2i-3)(2i-5)}}\mu ^{i-6}+\ldots \right].$

En changeant $\mu$ en $\mu '$ dans cette valeur de $\lambda ,$ on aura $\lambda '\,;$ on aura ensuite ${\text{ϐ}}=\lambda \lambda '\,:$ ce sera la partie de $\mathrm {Q} ^{(i)}$ indépendante de l’angle $\varpi -\varpi '.$

Cette partie est la seule à laquelle on doit avoir égard, relativement aux sphéroïdes de révolution, dont l’axe des $x$ est l’axe même de révolution, car alors, $\mathrm {R} '$ étant indépendant de $\varpi ',$ le terme ${\text{ϐ}}\cos n(\varpi -\varpi '),$ substitué pour $\mathrm {Q} ^{(i)}$ dans l’intégrale $\int \mathrm {R} '^{i+3}\mathrm {Q} ^{(i)}d\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$ donne un résultat nul, excepté lorsque $n=0\,;$ on aura donc alors

$\mathrm {U} ^{(i)}={\frac {1}{i+3}}\int \mathrm {R} '^{i+3}\mathrm {Q} ^{(i)}d\varpi 'd\theta '\sin \theta '=-{\frac {2\pi \lambda }{i+3}}\int \mathrm {R} '^{i+3}\lambda 'd\mu ',$

$\lambda$ et $\lambda '$ étant déterminés par ce qui précède, et l’intégrale relative à $\mu '$ devant être prise depuis $\mu '=1$ jusqu’à $\mu =-1.$ Il suit de là que, si l’on suppose

$\mathrm {A} ^{(i)}=-{\frac {2\pi }{i+3}}\int \mathrm {R} '^{i+3}\lambda 'd\mu ',$

et que l’on nomme $\lambda ^{(0)},\lambda ^{(1)},\lambda ^{(2)},\ldots$ les valeurs de $\lambda$ lorsqu’on y fait successivement $i=0,\ i=1,\ i=2,\ldots ,$ l’expression de $\mathrm {V}$ relative aux