qui puisse être égale au produit de
par une fonction rationnelle et entière de
car, si l’on substitue de pareilles fonctions pour
dans l’équation précédente, on verra facilement que, en partant de la plus haute puissance de
tous les coefficients des puissances successives de cette variable seront entièrement déterminés par ceux qui précèdent, en sorte qu’il ne restera que le premier d’arbitraire. En désignant donc par
cette valeur particulière de
qui est rationnelle et entière en
si
est pair, ou celle qui est égale à
multiplié par une fonction rationnelle et entière en
si
est impair, on aura
étant une fonction de
Pour la déterminer, on observera que, les deux angles
et
entrant de la même manière dans
si l’on fait
les équations différentielles en
et
subsisteront encore en y changeant
en
est donc une pareille fonction de
que de
partant, si l’on désigne par
ce que devient
lorsqu’on y change
en
on aura
étant une fonction de
et de
indépendante de
et de
On aura donc
![{\displaystyle {\text{ϐ}}=\gamma \lambda \lambda ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325b48a941f173c46282f8df82ef45b1ebde8e8a)
c’est-à-dire que
peut se décomposer en trois facteurs, dont le premier est une fonction de
et de
sans
ni
dont le second est fonction de
et dont le troisième est une fonction semblable en ![{\displaystyle \mu '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8cc619dfccdb610f9f606c257cecdee47148390)
X.
Cherchons d’abord la valeur de
lorsque
Pour cela, nous observerons que, si dans l’expression de
on suppose
elle deviendra
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2r\mathrm {R} \mu +\mathrm {R} ^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b22574c3f0edbb60a6c3b82ead5358ae3e0bf99)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {Q} ^{(i)}={\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7c648e49d9700e261a03b4d087ddfe5e4b706a)
![{\displaystyle \times \left[\mu ^{i}-{\frac {i(i-1)}{2(2i-1)}}\mu ^{i-2}+{\frac {i(i-1)(i-2)(i-3)}{2.4(2i-1)(2i-3)}}\mu ^{i-4}-\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5a495b079d93fd4b08da0484b852729e1a9838)