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qui puisse être égale au produit de ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}$ par une fonction rationnelle et entière de $\mu \,:$ car, si l’on substitue de pareilles fonctions pour ${\text{ϐ}}$ dans l’équation précédente, on verra facilement que, en partant de la plus haute puissance de $\mu ,$ tous les coefficients des puissances successives de cette variable seront entièrement déterminés par ceux qui précèdent, en sorte qu’il ne restera que le premier d’arbitraire. En désignant donc par $\lambda$ cette valeur particulière de ${\text{ϐ}},$ qui est rationnelle et entière en $\mu ,$ si $n$ est pair, ou celle qui est égale à ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}$ multiplié par une fonction rationnelle et entière en $\mu ,$ si $n$ est impair, on aura ${\text{ϐ}}=\mathrm {H\lambda ,\ H}$ étant une fonction de $\theta '.$ Pour la déterminer, on observera que, les deux angles $\theta$ et $\theta '$ entrant de la même manière dans $\mathrm {T} ,$ si l’on fait $\cos \theta '=\mu ',$ les équations différentielles en $\mathrm {Q} ^{(i)}$ et ${\text{ϐ}}$ subsisteront encore en y changeant $\mu$ en $\mu '\,;\ {\text{ϐ}}$ est donc une pareille fonction de $\mu '$ que de $\mu \,;$ partant, si l’on désigne par $\lambda '$ ce que devient $\lambda$ lorsqu’on y change $\mu$ en $\mu ',$ on aura $\mathrm {H} =\gamma \lambda ',\ \gamma$ étant une fonction de $i$ et de $n$ indépendante de $\mu$ et de $\mu '.$ On aura donc

${\text{ϐ}}=\gamma \lambda \lambda ',$

c’est-à-dire que ${\text{ϐ}}$ peut se décomposer en trois facteurs, dont le premier est une fonction de $i$ et de $n$ sans $\mu$ ni $\mu ',$ dont le second est fonction de $\mu ,$ et dont le troisième est une fonction semblable en $\mu '.$

X.

Cherchons d’abord la valeur de ${\text{ϐ}}$ lorsque $n=0.$ Pour cela, nous observerons que, si dans l’expression de $\mathrm {T}$ on suppose $\sin \theta '=0,$ elle deviendra

${\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2r\mathrm {R} \mu +\mathrm {R} ^{2}}}},$

d’où l’on tire

$\mathrm {Q} ^{(i)}={\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}$

$\times \left[\mu ^{i}-{\frac {i(i-1)}{2(2i-1)}}\mu ^{i-2}+{\frac {i(i-1)(i-2)(i-3)}{2.4(2i-1)(2i-3)}}\mu ^{i-4}-\ldots \right]\,;$