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$\mathrm {Q} ^{(i)}$ étant, quel que soit $i,$ donné par cette équation

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Q} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Q} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Q} ^{(i)},$

et, de plus, il est visible que $\mathrm {Q} ^{(i)}$ est une fonction rationnelle et entière de $\mu$ et de ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos(\varpi -\varpi ').\ \mathrm {Q} ^{(i)}$ étant connu, on aura $\mathrm {U} ^{(i)}$ au moyen de l’équation

$\mathrm {U} ^{(i)}=\int \mathrm {R} ^{i+2}d\mathrm {R} \mathrm {Q} ^{(i)}d\varpi 'd\theta '\sin \theta '={\frac {1}{i+3}}\int \mathrm {R} '^{i+3}\mathrm {Q} ^{(i)}d\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$

$\mathrm {R} '$ étant le rayon $\mathrm {R}$ prolongé jusqu’à la surface du sphéroïde ; or on a, par la nature du sphéroïde, $\mathrm {R} '$ en fonction de $\theta '$ et de $\varpi '\,;$ en substituant donc cette fonction dans la valeur de $\mathrm {U} ^{(i)},$ il ne s’agira plus que d’exécuter, par les méthodes connues, les intégrations relatives à $\varpi '$ et $\theta '\,;$ mais pour cela il est nécessaire de déterminer $\mathrm {Q} ^{(i)}.$

Développons cette quantité suivant les cosinus de l’angle $\varpi -\varpi '$ et de ses multiples, et nommons ${\text{ϐ}}$ le coefficient de $\cos n(\varpi -\varpi ')\,;$ en substituant dans l’équation précédente aux différences partielles en $Q^{(i)}$ le terme ${\text{ϐ}}\cos n(\varpi -\varpi '),$ on aura pour déterminer ${\text{ϐ}}$ l’équation aux différences ordinaires

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {\text{ϐ}} }{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}-{\frac {n^{2}{\text{ϐ}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\text{ϐ}},$

${\text{ϐ}}$ étant une fonction rationnelle et entière de $\mu$ et de $\cos \theta ',$ si $n$ est pair ou zéro, et étant égal à une pareille fonction multipliée par $\sin \theta '{\sqrt {1-\mu ^{2}}},$ si $n$ est impair.

L’équation précédente ne renfermant point l’angle $\theta ',$ il est clair que cet angle ne peut se trouver que dans les deux constantes arbitraires de l’intégrale ; de plus, cette équation étant linéaire, elle à deux valeurs particulières, qui, étant respectivement multipliées par des constantes arbitraires et ensuite ajoutées, donnent l’intégrale complète ; or il n’y a qu’une seule de ces deux valeurs qui puisse être une fonction rationnelle et entière de $\mu \,;$ il n’y en a pareillement qu’une seule