nous verrons dans la Section suivante toute la théorie des attractions des sphéroïdes très peu différents de la sphère découler de cette équation fondamentale.
IX.
Supposons d’abord le point attiré extérieur au sphéroïde ; si l’on réduit 
en série, elle doit être, dans ce cas, descendante par rapport aux puissances de 
et par conséquent de cette forme
Si l’on substitue cette valeur de dans l’équation précédente aux différences partielles, on aura, quel que soit 
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {U} ^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dec2d427c2489ef629eeef717b1fb6a5359a23f)
et il est visible, par la seule inspection de l’expression intégrale de 
que 
est une fonction rationnelle et entière de 
et 
dépendante de la nature du sphéroïde. Voyons comment on peut la déterminer.
Nommons 
le radical
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2r\mathrm {R} \left[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')\right]+\mathrm {R} ^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548e93b8f7779e2423ac7c7c2e7b2f850ee1eb6d)
nous aurons
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {T} }{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+r{\frac {\partial ^{2}(r\mathrm {T} )}{\partial r^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e90f178bf7e69acea5d9c38c6be38ee3765963d3)
cette équation subsisterait encore en y changeant 
en 
en 
et réciproquement, parce que est une pareille fonction de 
et de que de et de 
Si l’on réduit dans une suite descendante relativement à on aura
