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gine des coordonnées, et supposons que $\theta '$ et $\varpi '$ soient ce que deviennent les angles $\theta$ et $\varpi$ relativement à cette molécule ; nous aurons

$x=\mathrm {R} \cos \theta ',\qquad y=\mathrm {R} \sin \theta '\cos \varpi ',\qquad z=\mathrm {R} \sin \theta '\sin \varpi '.$

La distance

${\sqrt {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}}}$

de la molécule au point attiré sera donc égale à

${\sqrt {r^{2}-2r\mathrm {R} \left[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')\right]+\mathrm {R} ^{2}}}\,;$

d’ailleurs la molécule du sphéroïde est égale à

$\mathrm {R} ^{2}d\mathrm {R} d\theta 'd\varpi '\sin \theta '.$

Nous aurons donc

$\mathrm {V} =\int {\frac {\mathrm {R} ^{2}d\mathrm {R} d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {r^{2}-2r\mathrm {R} \left[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')\right]+\mathrm {R} ^{2}}}},$

l’intégrale relative à $\mathrm {R}$ devant être prise depuis $\mathrm {R} =0$ jusqu’à la valeur de $\mathrm {R}$ à la surface du sphéroïde ; l’intégrale relative à $\varpi '$ devant être prise depuis $\varpi '=0$ jusqu’à $\varpi '=360^{\circ },$ et celle qui est relative à $\theta '$ devant être prise depuis $\theta '=0$ jusqu’à $\theta '=180^{\circ }.$

J’ai observé, dans nos Mémoires pour l’année 1779 ^[1], que les intégrales des équations linéaires aux différences partielles du second ordre n’étaient souvent possibles qu’au moyen d’intégrales définies, semblables à l’expression de $\mathrm {V} \,;$ ainsi, lorsqu’on a de semblables intégrales, il est facile, dans un grand nombre de cas, d’en tirer des équations aux différences partielles, dont la considération peut fournir des remarques intéressantes et faciliter la réduction des intégrales en séries. Dans le cas présent, il est facile de s’assurer, par la différentiation, que, si l’on fait $\cos \theta =\mu ,$ on aura l’équation suivante aux différences partielles

(5)

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {V} }{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+r{\frac {\partial ^{2}(r\mathrm {V} )}{\partial r^{2}}}\,;$

1. Ci-dessus, p. 54 et suivantes.