Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/382

$k'^{2}$ étant donné par l’équation (4) que l’on peut mettre sous cette forme

${\begin{aligned}0=k'^{6}&-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-\theta -\varpi \right)k'^{4}\\&-\left[\left(a^{2}+c^{2}\right)\theta +\left(a^{2}+b^{2}\right)\varpi \right]k'^{2}-a^{2}\theta \varpi \,;\end{aligned}}$

on aura donc

$\mathrm {A} ={\frac {3a\mathrm {M} }{k'^{3}}}\mathrm {F} ,\qquad \mathrm {B} ={\frac {3b\mathrm {M} }{k'^{3}}}{\frac {\partial (\mathrm {F} \mu )}{\partial \mu }},\qquad \mathrm {C} ={\frac {3c\mathrm {M} }{k'^{3}}}{\frac {\partial (\mathrm {F} \mu )}{\partial \mu }}.$

Ces valeurs ont lieu relativement à tous les points extérieurs au sphéroïde et, pour les étendre aux points intérieurs ou à ceux de la surface, il suffit d’y changer $k'$ en $k.$

Si le sphéroïde est de révolution, en sorte que $\varpi =\theta ,$ l’équation (4) donnera

$2k'^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-\theta +{\sqrt {\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-\theta \right)^{2}+4a^{2}\theta }},$

et l’on aura, par l’article III,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {3a\mathrm {M} }{k'^{3}\mu ^{3}}}(\mu -\operatorname {arc} \operatorname {tang} \mu ),\\\mathrm {B} =&{\frac {3b\mathrm {M} }{2k'^{3}\mu ^{3}}}\left(\operatorname {arc} \operatorname {tang} \mu -{\frac {\mu }{1+\mu ^{2}}}\right),\\\mathrm {C} =&{\frac {3c\mathrm {M} }{2k'^{3}\mu ^{3}}}\left(\operatorname {arc} \operatorname {tang} \mu -{\frac {\mu }{1+\mu ^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Nous voilà donc parvenus à une théorie complète des attractions des sphéroïdes elliptiques, car la seule chose qui reste à désirer est l’intégration de la valeur de $\mathrm {F} ,$ et cette intégration est impossible, non seulement par les méthodes connues, mais encore en elle-même. Je me suis assuré, par une méthode qu’il n’est pas de mon objet d’exposer ici, que la valeur de $\mathrm {F}$ ne peut être exprimée en termes finis, au moyen de quantités algébriques, logarithmiques et circulaires, ou, ce qui revient au même, par une fonction algébrique de quantités dont les exposants soient constants, nuls ou variables ; or, les fonctions de ce genre étant les seules que l’on puisse exprimer indépendamment du signe $\int ,$ toutes les intégrales qui ne peuvent se ramener à des fonctions semblables sont impossibles en termes finis.