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et qui ont les mêmes excentricités ${\sqrt {\theta }}$ et ${\sqrt {\varpi }}\,;$ or $-\mathrm {M} {\frac {\partial \upsilon }{\partial a}},-\mathrm {M} {\frac {\partial \upsilon }{\partial b}}$ et $-\mathrm {M} {\frac {\partial \upsilon }{\partial c}}$ expriment, par l’article IV, les attractions du sphéroïde parallèlement à ses trois axes ; donc les attractions de différents sphéroïdes elliptiques qui ont le même centre, la même position des axes et les mêmes excentricités, sur un même point extérieur, sont entre elles comme leurs masses.

Il est aisé de voir, par l’inspection de la formule (2), que les dimensions de $\mathrm {U^{(0)},U^{(1)},U^{(2)}} ,\ldots$ en ${\sqrt {\theta }}$ et ${\sqrt {\varpi }}$ croissent de deux en deux unités, en sorte que $s=2si$ et $s'=2i+2\,;$ on a d’ailleurs, par la nature des fonctions homogènes,

$\varpi {\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial \varpi }}=i\mathrm {U} ^{(i)}-\theta {\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial \theta }}.$

Cette formule deviendra donc

(3)

${\frac {\left\{{\begin{aligned}&(2i+1)\theta (\varpi -\theta ){\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial \theta }}-(2i+{\frac {3}{2}})b\theta {\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial b}}\\&\ \ -(2i+{\frac {3}{2}})c\varpi {\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial c}}-{\frac {1}{2}}(2i+1)\left[\theta +(2i+1)\varpi \right]\mathrm {U} ^{(i)}\end{aligned}}\right\}}{(i+1)(2i+5)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}}\,;$

on aura au moyen de cette équation la valeur de $\upsilon ,$ dans une série qui sera convergente toutes les fois que les excentricité, ${\sqrt {\theta }}$ et ${\sqrt {\varpi }}$ seront fort petites, ou que la distance ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ du point attiré au centre du sphéroïde sera fort grande relativement aux dimensions du sphéroïde.

Si le sphéroïde est une sphère, on aura

$\theta =0\qquad {\text{et}}\qquad \varpi =0,$

ce qui donne

$\mathrm {U^{(1)}=0,\qquad U^{(2)}} =0,\qquad \ldots ,$

partant

$\upsilon =\mathrm {U} ^{(0)}={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {M} }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}\,;$

d’où il suit que la valeur de $\mathrm {V}$ est la même que si toute la masse de