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cela posé, il est facile de s’assurer par la différentiation que si, pour abréger, on fait $a\mathrm {A} +b\mathrm {B} +c\mathrm {C} =\mathrm {F} ,$ on aura entre les quatre quantités $\mathrm {F,B,C}$ et $\mathrm {V}$ l’équation suivante aux différences partielles :

${\begin{aligned}0&=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\\&\times \left[\mathrm {V} -{\frac {1}{2}}\left(a{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial a}}+b{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial b}}+c{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial c}}\right)-\mathrm {F} +{\frac {1}{2}}\left(a{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial a}}+b{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial b}}+c{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial c}}\right)\right]\\&+{\frac {1}{2}}k^{3}{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial k}}-k^{2}\\&\times \left[\mathrm {F} -{\frac {1}{2}}\left(a{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial a}}+b{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial b}}+c{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial c}}\right)\right]+k^{2}{\frac {m-1}{m}}b\left({\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial b}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial b}}-\mathrm {B} \right)\\&+k^{2}{\frac {n-1}{n}}c\left({\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial c}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial c}}-\mathrm {C} \right)-k^{2}(m-1){\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial m}}-k^{2}(n-1){\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial n}}.\end{aligned}}$

On peut éliminer de cette équation les quantités $\mathrm {B,C}$ et $\mathrm {F} ,$ en y substituant leurs valeurs $-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial b}},-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial c}}$ et $-a{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial a}}-b{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial b}}-c{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial c}}\,;$ on aura ainsi une équation aux différences partielles en $\mathrm {V}$ seul. Soit donc

$\mathrm {\mathrm {V} } ={\frac {4\pi k^{3}}{3{\sqrt {mn}}}}\upsilon =\mathrm {M} \upsilon ,$

$\mathrm {M}$ étant, par l’article I, la masse du sphéroïde elliptique, et, au lieu des variables $m$ et $n,$ introduisons celles-ci $\theta$ et $\varpi ,$ qui sont telles que

$\theta =k^{2}{\frac {1-m}{m}},\qquad \varpi =k^{2}{\frac {1-n}{n}},$

nous aurons

${\frac {\partial \theta }{\partial k}}={\frac {2\theta }{k}},\quad {\frac {\partial \varpi }{\partial k}}={\frac {2\varpi }{k}},\quad {\frac {\partial \theta }{\partial m}}=-{\frac {k^{2}}{m^{2}}},\quad {\frac {\partial \varpi }{\partial n}}=-{\frac {k^{2}}{n^{2}}},$

ce qui donne

${\begin{aligned}k{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial k}}=&\quad \mathrm {M} \left(2\theta {\frac {\partial \upsilon }{\partial \theta }}+2\varpi {\frac {\partial \upsilon }{\partial \varpi }}+3\upsilon +k{\frac {\partial \upsilon }{\partial k}}\right),\\{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial m}}=&-\mathrm {M} \left({\frac {k^{2}}{m^{2}}}{\frac {\partial \upsilon }{\partial \theta }}+{\frac {\upsilon }{2m}}\right),\\{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial n}}=&-\mathrm {M} \left({\frac {k^{2}}{n^{2}}}{\frac {\partial \upsilon }{\partial \varpi }}+{\frac {\upsilon }{2n}}\right).\end{aligned}}$

Cela posé, l’équation précédente deviendra, en y substituant ${\frac {k^{2}}{k^{2}+\theta }}$