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dans ces deux cas, l’ellipsoïde est de révolution, et $k$ sera son demi-axe de révolution si $\mu$ et $\mu '$ sont égaux ; on a, dans ce dernier cas,

$\mathrm {F} \int {\frac {x^{2}dx}{1+\mu ^{2}x^{2}}}={\frac {1}{\mu ^{3}}}(\mu -\operatorname {arc} \operatorname {tang} \mu ).$

Pour en conclure les différences partielles ${\frac {\partial (\mathrm {F} \mu )}{\partial \mu }}$ et ${\frac {\partial (\mathrm {F} \mu ')}{\partial \mu '}}$ qui entrent dans les expressions de $\mathrm {B}$ et de $\mathrm {C} ,$ on observera que

$d\mathrm {F} ={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial \mu }}d\mu +{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial \mu '}}d\mu '={\frac {1}{\mu }}{\frac {\partial (\mathrm {F} \mu )}{\partial \mu }}d\mu +{\frac {1}{\mu '}}{\frac {\partial (\mathrm {F} \mu ')}{\partial \mu '}}d\mu '-\mathrm {F} \left({\frac {d\mu }{\mu }}+{\frac {d\mu '}{\mu '}}\right)\,;$

or on a, lorsque $\mu =\mu ',$

${\frac {\partial (\mathrm {F} \mu )}{\partial \mu }}={\frac {\partial (\mathrm {F} \mu ')}{\partial \mu '}},$

partant

${\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial \mu }}d\mu ={\frac {1}{2}}\mu d\mathrm {F+F} d\mu ={\frac {1}{2\mu }}d(\mathrm {F} \mu ^{2}).$

En substituant au lieu de $\mathrm {F}$ sa valeur, on aura

${\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial \mu }}={\frac {1}{2\mu ^{3}}}\left(\operatorname {arc} \operatorname {tang} \mu -{\frac {\mu }{1+\mu ^{2}}}\right)\,;$

on aura donc, relativement aux ellipsoïdes de révolution.

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {3a\mathrm {M} }{k^{3}\mu ^{3}}}(\mu -\operatorname {arc} \operatorname {tang} \mu ),\\\mathrm {B} =&{\frac {3b\mathrm {M} }{2k^{3}\mu ^{3}}}\left(\operatorname {arc} \operatorname {tang} \mu -{\frac {\mu }{1+\mu ^{2}}}\right),\\\mathrm {C} =&{\frac {3c\mathrm {M} }{2k^{3}\mu ^{3}}}\left(\operatorname {arc} \operatorname {tang} \mu -{\frac {\mu }{1+\mu ^{2}}}\right).\end{aligned}}$

IV.

Considérons maintenant l’attraction du sphéroïde sur un point extérieur ; cette recherche présente de plus grandes difficultés que la précédente, à cause du radical ${\sqrt {\mathrm {R} }}$ qui entre dans l’expression des attrac-