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Soit $x={\frac {t}{\sqrt {m+(1-m)t^{2}}}},$ on aura

$\mathrm {B} ={\frac {3b\mathrm {M} }{k^{3}}}\int {\frac {t^{2}dt}{\sqrt {\left(1+{\cfrac {1-m}{m}}t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}\left(1+{\cfrac {1-n}{n}}t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}},$

l’intégrale relative à $t$ devant être prise, comme l’intégrale relative à $x,$ depuis $t=0$ jusqu’à $t=1,$ parce que $x=0$ donne $t=0,$ et que $x=1$ donne $t=1.$ Il suit de là que, si l’on suppose

${\frac {1-m}{m}}=\mu ^{2},\qquad {\frac {1-n}{n}}=\mu '^{2},$

$\mathrm {F} =\int {\frac {x^{2}dx}{\sqrt {\left(1+\mu ^{2}x^{2}\right)\left(1+\mu '^{2}x^{2}\right)}}},$

on aura

$\mathrm {B} ={\frac {3b\mathrm {M} }{k^{3}}}{\frac {\partial (\mathrm {F} \mu )}{\partial \mu }}.$

Si l’on change, dans cette expression, $b$ en $c$ et $\mu$ en $\mu ',$ on aura la valeur de $\mathrm {C} \,;$ les attractions $\mathrm {A,B,C}$ du sphéroïde, parallèlement à ses trois axes, seront ainsi données par les formules suivantes :

$\mathrm {A} ={\frac {3a\mathrm {M} }{k^{3}}}\mathrm {F} ,\qquad \mathrm {B} ={\frac {3b\mathrm {M} }{k^{3}}}{\frac {\partial (\mathrm {F} \mu )}{\partial \mu }},\qquad \mathrm {C} ={\frac {3c\mathrm {M} }{k^{3}}}{\frac {\partial (\mathrm {F} \mu ')}{\partial \mu '}}.$

On doit observer que ces expressions ayant lieu pour tous les points iifitérieurs et, par conséquent, pour les points infiniment voisins de la surface, elles ont lieu pour ceux de la surface elle-même. La détermination de ces attractions ne dépend que de la valeur de $\mathrm {F} \,;$ mais, quoique cette valeur soit une intégrale définie, elle a cependant toute la difficulté de l’intégrale indéfinie lorsque $\mu ,$ et $\mu '$ sont indéterminés ; car, si l’on représente l’intégrale définie, prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1,$ par $\varphi \left(\mu ^{2},\mu '^{2}\right),$ il est facile de s’assurer que l’intégrale indéfinie sera $x^{3}\varphi \left(\mu ^{2}x^{2},\mu '^{2}x^{2}\right),$ en sorte que, la première étant donnée, la seconde l’est pareillement. L’intégrale indéfinie n’est possible que lorsque l’une des quantités $\mu$ et $\mu '$ est nulle ou lorsqu’elles sont égales ;