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distance de $90^{\circ },$ les valeurs de $\mathrm {P} \cos p$ sont égales et de signes contraires ; on aura donc

$\mathrm {A} =2a\iint {\frac {dpdq\sin p\cos ^{2}p}{\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}\,;$

et, si l’on intègre par rapport à $q,$ on trouvera, par les méthodes connues.

$\mathrm {A} ={\frac {2a{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {mn}}}\int {\frac {dp\sin p\cos ^{2}p}{\sqrt {\left(1+{\cfrac {1-m}{m}}\cos ^{2}p\right)\left(1+{\cfrac {1-n}{n}}\cos ^{2}p\right)}}},$

l’intégrale devant être prise depuis $\cos p=1$ jusqu’à $\cos p=-1.$ Si l’on fait $\cos p=x$ et que l’on observe que, la masse $\mathrm {M}$ du sphéroïde étant ${\frac {4\pi k^{3}}{3{\sqrt {mn}}}},$ on a

${\frac {4\pi }{\sqrt {mn}}}={\frac {3\mathrm {M} }{k^{3}}},$

on aura

$\mathrm {A} ={\frac {3a\mathrm {M} }{k^{3}}}\int {\frac {x^{2}dx}{\sqrt {\left(1+{\cfrac {1-m}{m}}x^{2}\right)\left(1+{\cfrac {1-n}{n}}x^{2}\right)}}},$

l’intégrale étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1.$

En intégrant de la même manière les expressions de $\mathrm {B}$ et de $\mathrm {C} ,$ on les réduirait à de simples intégrales ; mais il est plus facile de conclure ces intégrales de l’expression de $\mathrm {A} \,;$ pour cela, on observera qu’elle peut être considérée comme une fonction des quatre quantités $a,k^{2},{\frac {k^{2}}{m}},{\frac {k^{2}}{n}},$ et que, en nommant $k'^{2}$ le carré du demi-axe parallèle à $b,$ et, par conséquent, $k'^{2}m$ et ${\frac {k'^{2}m}{n}}$ les carrés des deux autres demi-axes, $\mathrm {B}$ est pareille fonction de $b,k'^{2},k'^{2}m,{\frac {k'^{2}m}{n}}.$ Ilfaut donc, pour avoir $\mathrm {B} ,$ changer dans l’expression de $\mathrm {A} ,\ a$ en $b,\ k$ en $k'$ ou ${\frac {k}{\sqrt {m}}},\ m$ dans ${\frac {1}{m}}$ et $n$ dans ${\frac {n}{m}},$ ce qui donne

$\mathrm {B} ={\frac {3b\mathrm {M} }{k^{3}}}\int {\frac {m^{\frac {3}{2}}x^{2}dx}{\sqrt {\left[1+(m-1)x^{2}\right]\left(1+{\cfrac {m-n}{n}}x^{2}\right)}}}.$