distance de
les valeurs de
sont égales et de signes contraires ; on aura donc
![{\displaystyle \mathrm {A} =2a\iint {\frac {dpdq\sin p\cos ^{2}p}{\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eecdb89cd6d34ef5b63ad98707dbb0f5231d45a4)
et, si l’on intègre par rapport à
on trouvera, par les méthodes connues.
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {2a{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {mn}}}\int {\frac {dp\sin p\cos ^{2}p}{\sqrt {\left(1+{\cfrac {1-m}{m}}\cos ^{2}p\right)\left(1+{\cfrac {1-n}{n}}\cos ^{2}p\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28eeeed00daae426d720c17cf6241db3560186b0)
l’intégrale devant être prise depuis
jusqu’à
Si l’on fait
et que l’on observe que, la masse
du sphéroïde étant
on a
![{\displaystyle {\frac {4\pi }{\sqrt {mn}}}={\frac {3\mathrm {M} }{k^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ad4f01e2a5d0fa41aec7ef7da65ccf870e9b5d)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {3a\mathrm {M} }{k^{3}}}\int {\frac {x^{2}dx}{\sqrt {\left(1+{\cfrac {1-m}{m}}x^{2}\right)\left(1+{\cfrac {1-n}{n}}x^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30685519bb9e63b3ea0e7754ebd1f1a0e311b2a9)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à ![{\displaystyle x=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c68848dcaa8574feb04951e71070f80b77f752)
En intégrant de la même manière les expressions de
et de
on les réduirait à de simples intégrales ; mais il est plus facile de conclure ces intégrales de l’expression de
pour cela, on observera qu’elle peut être considérée comme une fonction des quatre quantités
et que, en nommant
le carré du demi-axe parallèle à
et, par conséquent,
et
les carrés des deux autres demi-axes,
est pareille fonction de
Ilfaut donc, pour avoir
changer dans l’expression de
en
en
ou
dans
et
dans
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {B} ={\frac {3b\mathrm {M} }{k^{3}}}\int {\frac {m^{\frac {3}{2}}x^{2}dx}{\sqrt {\left[1+(m-1)x^{2}\right]\left(1+{\cfrac {m-n}{n}}x^{2}\right)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d271c23353fe6d2a87d690d462a7eb3e0816217b)