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aux variables correspondantes, on aura

(B)

$\left\{{\begin{aligned}y_{x+i}=&\qquad \ \ y_{x}\left(b\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\ +c\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}\ \ +e\mathrm {Z} _{i-n+3}^{(0)}\ +\ldots +q\mathrm {Z} _{i}^{(0)}\right)\\&+\ \ \nabla y_{x}\left(b\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+c\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+e\mathrm {Z} _{i-2n+3}^{(1)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-n}^{(1)}\right)\\&+\nabla ^{2}y_{x}\left(b\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+c\mathrm {Z} _{i-3n+2}^{(2)}+e\mathrm {Z} _{i-3n+3}^{(2)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-2n}^{(2)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\quad y_{x+1}\left(c\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\ \ +e\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}\ +\ldots \ldots +q\mathrm {Z} _{i-1}^{(0)}\right)\\&+\ \nabla y_{x+1}\left(c\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+e\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+\ldots \ldots +q\mathrm {Z} _{i-n-1}^{(1)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\quad y_{x+2}\left(e\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\ \,+\ldots \ldots \ldots +q\mathrm {Z} _{i-2}^{(0)}\right)\\&+\ \nabla y_{x+2}\left(e\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \ldots \ldots +q\mathrm {Z} _{i-n-2}^{(1)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+qy&_{x+n-1}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+q\nabla y_{x+n-1}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+q\nabla ^{2}y_{x+n-1}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Cette formule servira à interpoler les suites dont la dernière raison des termes est celle d’une suite récurrente ; car il est clair que, dans ce cas, $\nabla y_{x},\nabla ^{2}y_{x},\nabla ^{3}y_{x},\ldots$ iront toujours en diminuant et finiront par être nuls dans l’infini.

Si l’une de ces quantités est nulle, par exemple si l’on a $\nabla ^{r}y_{x}=0,$ la formule précédente donnera l’expression générale de $y_{x}$ <iui satisfait à cette équation. Pour le faire voir, supposons d’abord $\nabla y_{i}=0,$ ou, ce qui revient au même, 0=

$ay^{i}+by_{i+1}+cy_{i+2}+\ldots +qy_{i+n}\,;$

si l’on fait dans ce cas $x=0$ dans la formule précédente, elle deviendra

(B)

$\left\{{\begin{aligned}y_{i}=&\quad \ y_{0}\left(b\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+c\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+e\mathrm {Z} _{i-n+3}^{(0)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i}^{(0)}\right)\\&+y_{1}\left(c\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+e\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+\ldots \ldots \ldots \ldots \,\ +q\mathrm {Z} _{i-1}^{(0)}\right)\\&+y_{2}\left(e\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad \,+q\mathrm {Z} _{i-2}^{(0)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+qy_{n-1}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}.\end{aligned}}\right.$

$y_{0},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n-1}$ sont les $n$ premières valeurs de $y_{i}\,;$ ce sont les