Pour cela, nous observerons que, si l’on met dans l’équation générale
au lieu de
leurs valeurs précédentes, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&\left(\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q\right)\\&\quad -2r(a\cos p+mb\sin p\cos q+nc\sin p\sin q)\\&=k^{2}-a^{2}-mb^{2}-nc^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40cd221385f21b917015fd2753f7ea75ea7f7a6)
en sorte que, si l’on suppose
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} =&\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q,\\\mathrm {I} \ =&a\cos p+mb\sin p\cos q+nc\sin p\sin q,\\\mathrm {R} =&\mathrm {I} ^{2}+\left(k^{2}-a^{2}-mb^{2}-nc^{2}\right)\mathrm {L} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f71a292dcfc05e0f413b605843887c07bead883)
on aura
![{\displaystyle r=\mathrm {\frac {I\pm {\sqrt {R}}}{L}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca29bc223dc4a59e1f7081d294c5f24c601c1b5)
d’où l’on tire
en prenant le radical en plus, et
en le prenant en moins ; on aura donc
![{\displaystyle r'+r=\mathrm {\frac {2I}{L}} ,\qquad r'-r=\mathrm {\frac {2{\sqrt {R}}}{L}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da4363ecb7419ea24d244fcbc7553a0ed5d0519b)
ce qui donne, relativement aux points intérieurs du sphéroïde,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&2\iint {\frac {dpdq\mathrm {I} \sin p\cos q}{\mathrm {L} }},\\\mathrm {B} =&2\iint {\frac {dpdq\mathrm {I} \sin ^{2}p\cos q}{\mathrm {L} }},\\\mathrm {C} =&2\iint {\frac {dpdq\mathrm {I} \sin ^{2}p\sin q}{\mathrm {L} }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b2996c2e5661cd83fdde42d065649c011ff737)
et, relativement aux points extérieurs,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&2\iint {\frac {dpdq\sin p\cos q{\sqrt {\mathrm {R} }}}{\mathrm {L} }},\\\mathrm {B} =&2\iint {\frac {dpdq\sin ^{2}p\cos q{\sqrt {\mathrm {R} }}}{\mathrm {L} }},\\\mathrm {C} =&2\iint {\frac {dpdq\sin ^{2}p\sin q{\sqrt {\mathrm {R} }}}{\mathrm {L} }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4feaab3e0fb7d63c0513a26e5fbfcd1676ab9b)