mais elle est ici représentée d’une manière plus directe et plus simple.
Je considère dans la seconde Section les attractions des sphéroïdes quelconques, et je les fais dépendre d’une équation aux différences partielles du second ordre : cette équation est la base de mes recherches sur la figure des planètes ; elle me conduit d’abord à quelques résultats généraux sur l’expression en série des attractions des sphéroïdes. En supposant ensuite les sphéroïdes fort approchants de la sphère et en combinant ces résultats avec une équation différentielle qui a lieu à leur surface, et dont j’ai tiré autrefois les lois de la pesanteur sur les sphéroïdes homogènes en équilibre, je parviens à une expression en séries, générale et simple, des attractions des sphéroïdes quelconques très peu différents de la sphère, expression qui se termine toutes les fois que l’équation de leur surface est finie et rationnelle. Il est assez remarquable que cette expression, qui, par les méthodes ordinaires, exigerait des intégrations très compliquées, soit donnée sans aucune intégration et par la seule différentiation des fonctions. Ces recherches sont l’objet de la troisième Section ; toute la théorie de la figure des planètes et de la loi de la pesanteur à leur surface en est un simple corollaire ; il en résulte que, si la planète est homogène, elle ne peut être en équilibre que d’une seule manière, quelles que soient les forces qui l’animent, et qu’ainsi la Terre est nécessairement, dans cette hypothèse, un ellipsoïde de révolution ; mais ce résultat, fondé sur le développement en série des attractions des sphéroïdes, pouvant laisser quelques doutes, je le démontre, a priori, indépendamment des suites, et je fais voir en même temps que, dans un grand nombre de cas, un fluide qui recouvre une sphère est susceptible de plusieurs états d’équilibre. La méthode des séries conduit aux mêmes résultats, d’où il suit que cette méthode à toute la généralité possible, et qu’il n’est point à craindre qu’aucune figure d’équilibre lui échappe.
Si la planète est hétérogène, sa figure dépend de celle de ses couches et de la loi de leurs densités ; la pesanteur à sa surface dépend
