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fraction (A) et, par conséquent, pour l’expression de ${\frac {1}{t^{i}}},$

$(\mu )\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{t^{i}}}=&\quad \ b\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+bz\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+bz^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+bz^{3}\mathrm {Z} _{i-4n+1}^{(3)}+\ldots \\&+c\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+cz\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+cz^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+2}^{(2)}+cz^{3}\mathrm {Z} _{i-4n+2}^{(3)}+\ldots \\&+e\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+ez\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+ez^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+ez^{3}\mathrm {Z} _{i-4n+1}^{(3)}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+{\frac {1}{t}}&\left\{{\begin{aligned}&\quad \ c\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+cz\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+cz^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+cz^{3}\mathrm {Z} _{i-4n+1}^{(3)}+\ldots \\&+e\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+ez\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+ez^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+2}^{(2)}+ez^{3}\mathrm {Z} _{i-4n+2}^{(3)}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\\+{\frac {1}{t^{2}}}&\left\{{\begin{aligned}&\quad e\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+ez\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+ez^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+ez^{3}\mathrm {Z} _{i-4n+1}^{(3)}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {1}{t^{n-1}}}\left(q\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+qz\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+qz^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \right).\end{aligned}}\right.$

Présentement, si l’on désigne par $\nabla y_{x}$ la quantité

$ay_{x}+by_{x+1}+cy_{x+2}+\ldots +qy_{x+n}\,;$

par $\nabla ^{2}y_{x}$ la quantité

$a\nabla y_{x}+b\nabla y_{x+1}+c\nabla y_{x+2}+\ldots +q\nabla y_{x+n}\,;$

par $\nabla ^{3}y_{x}$ la quantité

$a\nabla ^{2}y_{x}+b\nabla ^{2}y_{x+1}+c\nabla ^{2}y_{x+2}+\ldots +q\nabla ^{2}y_{x+n},$

et ainsi de suite, il est visible, par l’article II, que le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de ${\frac {uz^{s}}{t^{r}}}$ sera $\nabla ^{r}y_{x+r}\,;$ en multipliant donc l’équation précédente par $u,$ et en ne considérant dans chaque terme que le coefficient de $t^{x},$ c’est-à-dire en repassant des fonctions génératrices