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solution des problèmes où l’on cherche la probabilité d’un résultat formé d’un grand nombre d’événements simples, dont les possibilités sont connues : pour en donner un exemple, nous supposerons que l’on se propose d’avoir la probabilité que tous les numéros d’une loterie composée de $n$ numéros, et dont il en sort un à chaque tirage, seront tous sortis après le nombre $i$ de tirages.

J’ai donné, dans le Tome VI des Mémoires des Savants étrangers^[1], la solution de ce problème, quel que soit le nombre de numéros que l’on amené a chaque tirage, et il en résulte que, dans le cas où il ne sort à chaque tirage qu’un seul numéro, si l’on nomme $y_{i}$ la probabilité que tous les numéros seront sortis après le nombre $i$ de tirages, on aura

$y_{i}={\frac {\Delta ^{n}s^{i}}{n^{i}}},$

la caractéristique $\Delta$ étant celle des différences finies, et $s$ devant être supposé nul dans le résultat final. Cette expression, fort simple en apparence, conduirait à des calculs impraticables si $n$ et $i$ étaient de très grands nombres ; il serait beaucoup plus difficile encore d’en conclure le nombre $i,$ auquel répond une valeur donnée de $y_{i}\,;$ mais on peut aisément déterminer ce nombre par les formules du n^o XXVII.

La formule $(\mu ')$ de ce numéro donne, a très peu près,

$\Delta ^{n}s^{i}={\frac {\left({\cfrac {i}{a}}\right)^{i+1}e^{sa-i}\left(e^{a}-1\right)^{n}}{\sqrt {{\cfrac {i(i+1)}{a^{2}}}-{\cfrac {nie^{a}}{\left(e^{a}-1\right)^{2}}}}}},$

$a,l,l',l''$ étant donnés par les équations suivantes :

${\begin{aligned}0\ =&{\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {ne^{a}}{e^{a}-1}},\\l\ =&-{\frac {i+1}{2a^{2}}}-{\frac {n}{2}}{\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}+{\frac {n}{2}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{2},\\l'\,=&-{\frac {i+1}{3a^{3}}}+{\frac {n}{6}}{\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}-{\frac {n}{2}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{2}+{\frac {n}{3}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{3},\\l''=&-{\frac {i+1}{4a^{4}}}-{\frac {n}{24}}{\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}+{\frac {7n}{24}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{2}-{\frac {n}{2}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{3}+{\frac {n}{4}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{4}.\end{aligned}}$

1. Œuvres de Laplace, t. VIII, p. 17.